Заочные электронные конференции
 
     
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ С РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ ПРИ ЕЕ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Меньшенин Александр Аркадьевич


Для чтения PDF необходима программа Adobe Reader
GET ADOBE READER

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ С РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ

ПРИ ЕЕ ОСЕВОМ СЖАТИИ

Меньшенин Александр Аркадьевич

Ульяновский государственный университет

Задача данного исследования состояла в определении критических осевых нагрузок, вызывающих потерю устойчивости цилиндрической тонкостенной оболочки, имеющей круговые вырезы и ребра жесткости.

Математическая модель устойчивости цилиндрической оболочки без вырезов.

Рис. 1 а. Рис. 1 б.

Пусть начало подвижной системы координат xyz лежит на срединной поверхности цилиндрической оболочки. Ось х направлена вдоль образующей, ось у — по касательной к окружности, а ось z — по внешней нормали к срединной поверхности (рис. 1, а). Перемещения точек срединной поверхности по направлениям осей х, у, z - u, v, w соответственно. Координаты точек A, В, С, D элемента срединной поверхности оболочки и координаты точек A1, B1, C1, D1 этого элемента после деформации оболочки в системе координат хуz, связанной с точкой А (рис. 1, б), определяются следующей таблицей.

Точка

x

y

z

A

0

0

0

 

0

Rdφ

0

C

dx

Rdφ

0

D

dx

0

0

A1

u

v

w

B1

C1

D1

Деформации срединной поверхности связаны с перемещениями следующим образом:

(1.1)

А углы поворота нормали к срединной поверхности θx и θy в плоскостях xz и zy

.

Если пренебречь влиянием деформаций срединной поверхности на ее кривизны χx , χy, и кручение χxy , то получим:

(1.2)

При и используются упрощенные формулы:

(1.3)

.

При деформациях оболочки возникают нормальные усилия Тx, Тy , сдвигающее усилие S, изгибающие Мx, My и скручивающий Мxy моменты. Эти внутренние силовые факторы связаны с компонентами деформаций срединной поверхности оболочки и изменением ее кривизн соотношениями упругости, основанными ва гипотезе Кирхгоффа-Лява неискривляемости физического волокна нормали в процессе деформации [1]:

,

(1.4)

где D – изгибная жесткость оболочки. Для получения линеаризованных уравнений, описывающих потерю устойчивости цилиндрической оболочки, запишем линейные уравнения, описывающие поведение произвольно нагруженной оболочки при ее малых перемещениях.

Рис. 2.

Рассматривая равновесие элемента оболочки в недеформированном состоянии (рис. 2), приходим к следующей системе уравнений [1]:

(1.5)

где px, py, pz - интенсивности внешних распределенных нагрузок, действующих в направлениях соответствующих осей.

Исключив из последней системы уравнений внутренние поперечные силы Qx и Qy, придем к системе уравнений:

(1.6)

Используя соотношения упругости, далее получим систему уравнений равновесия в перемещениях:

(1.7)

где

Для замкнутой в окружном направлении цилиндрической оболочки на каждом из ее торцов должны быть заданы по четыре граничных условия [1]:

1) перемещение u либо осевое усилие Тx;

2) перемещение v либо сдвигающее усилие S;

3) угол наклона нормали θx либо изгибающий момент Mx;

4) перемещение w либо приведенное поперечное усилие

В том случае, когда выражения изменения кривизн χx, χy, χxy берут в упрощенном виде , уравнения равновесия должны быть также упрощены. Из второго уравнения равновесия (1.5) следует отбросить слагаемое . Тогда уравнение равновесия (1.6) при px=0 и py=0 принимают вид

(1.8)

Если ввести функцию усилий Ф, связанную с усилиями соотношениями

(1.9)

то два первых уравнения системы (1.8) будут удовлетворены тождественно. Исключая из системы (1.1) перемещения u и v, приходим к уравнению совместности деформаций

Используя далее соотношения упругости (1.5) и соотношение (1.9), получим следующую систему уравнений:

(1.10)

Уравнения, описывающие потерю устойчивости цилиндрической оболочки, получим при следующих допущениях [1].

1. Оболочка имеет идеально правильную цилиндрическую форму, ее начальное напряженное состояние - безмоментное.

2. Изменением всех геометрических размеров оболочки в докритическом состоянии пренебрегаем.

3. При потере устойчивости связь между перемещениями и внутренними силовыми факторами в оболочке описывается соотношениями упругости (1.4).

4. Оболочка нагружена только приложенными к торцам мертвыми контурными усилиями и внешним гидростатическим давлением интенсивности р =р (х, φ).

В соответствии с первым допущением в начальном докритическом состоянии в оболочке существуют только внутренние усилия Tx0, Ty, S0, удовлетворяющие уравнениям равновесия безмоментной теории оболочек [1]:

(1.11)

Эти уравнения равновесия вытекают из Рис. 3 уравнений (1.5) если в последних положить Qx= Qy = 0, рx = рy= 0 и px=-p.

Рассмотрим условие равновесия оболочки в отклоненном состоянии (рис. 3). Спроектируем все действующие на элемент усилия (на рис. 3 показано только усилие Тφ) на направление нормали z и определим фиктивную нормальную нагрузку [1].

(1.12)

Учитывая (1.11) получим

(1.13)

Если воспользуемся упрощенными выражениями кривизн и соответствующей им системой уравнений (1.10), то получим

(1.14)

В задачах устойчивости однородная система уравнений должна быть подчинена однородным граничным условиям. Так, если на торце замкнутой цилиндрической оболочки задано w = 0, то остальные три однородных граничных условия на этом торце будут [1]:

1) u = 0 либо Tx= 0;

2) v = 0 либо S = 0;

3) θx = 0 либо Мx = 0.

Рис 4. а. Рис. 4 б.

Цилиндрическая оболочка.

Для получения однородного линеаризованного уравнения, при, описывающего осесимметричную форму потери устойчивости потери устойчивости оболочки, воспользуемся широко известным уравнением изгиба цилиндрической оболочки при осесимметричной нагрузке [1]. Это (2.1) нетрудно получить из (1.10) при μ=0 и гипотезы о том, как будет меняться геометрия оболочки (Рис. 4 б).

, (2.1)

Здесь, как уже отмечалось, w = w (x) — поперечный прогиб оболочки; рz = рz (х) — интенсивность радиальной осесимметричной нагрузки.

Учитывая, что при осесимметричной форме потери устойчивости изменение кривизны срединной поверхности имеет вид , находим фиктивную радиальную нагрузку (1.13):

.

Считая, что в начальном состоянии Тх0 = -q, Ty0 = 0, S0 = 0 , и заменяя в уравнении (2.1) рz на pzФ, приходим к однородному линеаризованному уравнению

При х = 0 и х = l задаются граничные условия:

w = 0, . (2.2)

Решение краевой задачи (2.1),(2.2) имеет вид

wm (х) = Am sin(mπx)/l,

где m — число полуволн, по которым изгибается образующая цилиндрической оболочки. Соответствующие собственные значения интенсивности нагрузки равны

Если число полуволн m считать достаточно большим, а величину непрерывно изменяющейся [1], то из условия минимума

находим

При этом верхнее критическое осевое сжимающее напряжение (при μ = 0,3) определяется формулой [1]

Неосесимметричные формы потери устойчивости цилиндрической оболочки, сжатой в осевом направлении, в классической постановке можно исследовать с помощью системы уравнений уравнений (1.14), которая при Тх0 = -q; Ту0 = 0, S0 = 0 принимает вид

(2.3)

Если для обоих торцов оболочки задаются граничные условия (то есть при x = 0 и x = l):

w = 0, Mx = 0, v = 0; Tx = 0; (2.4)

то решение краевой задачи (2.3), (2.4) имеет вид

, (2.5)

поскольку в этом случае граничные условия удовлетворяются автоматически. Подставив эти функции в систему уравнений (2.3) и сократив общий для всех слагаемых множитель , получим однородную систему алгебраических уравнений

Равенство нулю определителя этой системы приводит к собственным значениям нагрузки

,

где

.

При большом числе полуволн n или m комплекс η можно рассматривать как непрерывно изменяющийся параметр [1]. Определяя условие минимума qnm по этому параметру, снова приходим к формуле , причем критическое значение комплекса η равно

.

Заметим, что при nкр = 0 происходи осесимметричная потеря устойчивости. Итак, оболочка становится неустойчивой, когда осевое сжимающее напряжение превысит значение

.

Суммарная критическая сжимающая сила [1]

Сложность построения математической модели оболочки с вырезами и ее аналитического изучения делает целесообразным конечно-элементный анализ, выполняемый, например, с помощью пакета программ ANSYS.

Численный анализ устойчивости цилиндрической оболочки.

Рис. 5

Цилиндрическая оболочка в ANSYS

Параметры цилиндрической оболочки:

длина Н1 = 4 м; толщина оболочки Н2 = 0.05 м; радиус R1 = 0.5 м; коэффициент Пуассона μ = 0.3; модуль Юнга Е = 2*1011 Па; плотность ρ = 7850 кг/м3.

Цилиндр построен так (рис.4), что его сечение плоскостью Oxy представляет собой окружность радиусом R1, а, образующая цилиндра направлена вдоль оси z.

Рис. 6 а. Рис. 6 б.

Внешняя нагрузка Кинематические условия

Далее при решении задачи с помощью ANSYS следует задать граничные условия (рис.6 б) и внешние усилия (рис.6 а). Следует отметить, что при моделировании в ANSYS объекты должны быть закреплены, чтобы не допускалось свободное перемещение оболочки по какой-либо из шести степеней свободы как абсолютно твердого тела. Граничные условия задаются с учетом симметрии, согласно которой точки, находящиеся в сечении цилиндра, находящемся на расстоянии половины длины цилиндра от любого из торцов, не могут перемещаться вдоль оси z (на рисунке 6 б эти точки расположены на торце, находящемся в верхнем правом углу). Точкам, расположенным на торце оболочки, запрещается перемещение в плоскости Oxy (на рисунке 6 б эти точки расположены на торце, находящемся в нижнем левом углу). Точкам, расположенным на окружности, лежащей в плоскости симметрии, запрещается перемещение вдоль оси z.

Далее, для решения задачи, строилась сетка с конечными элементами Shell93. Полученные результаты содержатся в таблице и отражены на рисунках.

длина элемента сетки

Δ1=0.05

Δ2=0.1

критическое усилие σ1 (Н)

1.73963E8

1.73962E8

критическое усилие σ2 (Н)

1.73963E8

1.73962E8

критическое усилие σ2 (Н)

2.77329E8

2.77400E8

Рис. 7 а. (Δ1) Рис. 8 а. (Δ2)

Первая форма потери устойчивости, вид сверху.

Рис. 7 б. (Δ1) Рис. 8 б. (Δ2)

Первая форма потери устойчивости, вид сбоку.

Рис. 7 в. (Δ1) Рис. 8 в. (Δ2)

Вторая форма потери устойчивости, вид сверху.

Рис. 7 г (Δ1) Рис. 8 г. (Δ2)

Третья форма потери устойчивости, вид сверху.

Рис. 7 д. (Δ1) Рис. 8 д. (Δ2)

Третья форма потери устойчивости, изометрический вид.

Формы потери устойчивости не являются ни оссесимметричными ни неосесимметричными (шахматными). Критические усилия, полученные теоретическим путем, примерно а 10 раз больше значений, полученных с помощью моделирования в ANSYS, а следовательно полученные с использованием численного анализа результаты существенно ближе к известным экспериментальным данным, чем теоретические результаты (известно расхождение в 4-10 раз теоретических и экспериментальных результатов [4]). Это позволяет сделать заключение о высокой степени достоверности результатов. Объясняется это тем, что теоретическая модель не учитывает, например, длину оболочки. При сгущении сетки в 2 раза, критические усилия, моделей, полученные с помощью ANSYS, практически не изменяются. Также практически не изменяются формы потери устойчивости цилиндрической оболочки.

Анализ устойчивости цилиндрической оболочки с подкрепленными круговыми вырезами.

Рис.9 а. Рис. 9 б.

Цилиндрическая оболочка с подкрепленными круговыми вырезами.

Как видно на рисунке 9 а и 9 б, подкрепления представляют собой цилиндрические оболочки, внутренний радиус которых совпадает с радиусом отверстий.

Параметры цилиндрической оболочки:

Длина Н1 = 4 м; толщина оболочки Н2 = 0.05 м; радиус R1 = 0.5 м; коэффициент Пуассона μ = 0.3; модуль Юнга Е = 2*1011 Па; плотность ρ = 7850 кг/м3; количество круговых вырезов: 4; радиус вырезов R2 = 0.25 м.

В целом цилиндрическая оболочка та же, что и в предыдущей задаче, но только с круговыми вырезами и ребрами жесткости. Граничные условия берутся те же.

длина элемента сетки

Δ1=0.05

Δ2=0.1

критическое усилие σ1 (Н)

1.18807Е8

1.19652Е8

критическое усилие σ2 (Н)

1.25761Е8

1.26076Е8

критическое усилие σ2 (Н)

1.25766Е8

1.26150Е8

Рис. 10 а. (Δ1) Рис. 11 а. (Δ2)

Первая форма потери устойчивости, вид сверху.

Рис. 10 б. (Δ1) Рис. 11 б. (Δ2)

Первая форма потери устойчивости, вид сбоку.

Рис. 10 в. (Δ1) Рис. 11 в. (Δ2)

Вторая форма потери устойчивости.

Рис. 10 г. (Δ1) Рис. 11 г. (Δ2)

Вторая форма потери устойчивости.

Рис. 10 д. (Δ1) Рис. 11 д. (Δ2)

Третья форма потери устойчивости.

Анализ представленных выше таблицы и рисунков позволяет сделать вывод о близости найденных приближенных решений к искомому неизвестному точному решение, так как при сгущении сетки значения критических усилий, и формы потери устойчивости практически не изменились.

Следующая таблица и соответствующие ей графики показывают, как изменяются критические усилия при разных длинах оболочки (остальные параметры оболочек не менялись). Сравнение показывает, что очень длинные оболочки начинают вести себя одинаково. Это подтверждается тем, что, начиная примерно с длины 5,5 м, форма потери устойчивости такая же, как у стержней.

длина оболочки (м)

2

4

6

8

20

оболочка без вырезов

2,78547E+08

1,73962E+08

8,17583E+07

4,69509E+07

7,69116E+06

оболочка с вырезами

7,90424E+07

7,75305E+07

5,43882E+07

3,94480E+07

7,20088E+06

оболочка с подкрепленными вырезами

1,21862E+08

1,19639E+08

6,81564E+07

4,12203E+07

7,31279E+06

Список литературы

  1. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М., Машиностроение, 1978. 312 с.

  2. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М., Наука, 1967. 984 с.

  3. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., Наука, 1974. 448 с.

  4. Пикуль В.В. К теории устойчивости оболочек // Вестник ДВО РАН, 2006, N4, с.81-86.

Библиографическая ссылка

Меньшенин Александр Аркадьевич ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КРУГОВЫМИ ВЫРЕЗАМИ С РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ ПРИ ЕЕ ОСЕВОМ СЖАТИИ // Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/6968 (дата обращения: 29.03.2024).



Сертификат Получить сертификат