Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук
krupeninster@gmail.com
Аннотация.Проведены аналитические исследования проблем, связанных с прохождением периодических сильно нелинейных (виброударных) процессов через машинные конструкции, моделируемые посредством дискретных механических систем с регулярными структурами — механическими фильтрами низших и высших частот. Выяснен физический смысл полученных решений, выведены расчетные формулы и описаны главные динамические эффекты.
1. Решение проблем связанные с изучением особенностей прохождения вибрации, сопровождаемой соударениями элементов конструкций, через различные технические объекты представляются весьма важными и актуальными, в частности для создания научных основ проектирования машин. В линейной постановке они рассматривались, в частности, в [1]. Учет соударений элементов конструкций был проведен, в частности, в работах [2-6]. Далее рассмотрены задачи о прохождении периодических виброударного процесса через механические фильтры низших и высших частот.
Для анализа используются решения, получаемые при помощи методов частотно-временного анализа [3-8]. Для дальнейшего изложения необходимы следующие соотношения.
Ограничиваясь здесь и далее основными режимами несимметричных виброударных систем с частотами, совпадающими с частотами внешних сил, заметим, что для наиболее важных в приложениях и распространенных на практике режимов с одним ударом за период движения определяющим оказывается так называемое двухпараметрическое представление [7-9 ]
(1)
где х0 — координата (относительная или абсолютная), к которой приведена сила удара;
сила удара; момент удара совмещен с началом отсчета времени; f0 - решение соответствующей линейной задачи - изменение координаты в отсутствие соударений; J -импульс удара; φ — его фаза; χ00— периодическая функция Грина системы в точке х0. ЕслиL00(p) — оператор динамической податливости линейной системы в точке, то периодическая функция Грина дается рядом Фурье [2,3,5,8]
χ00(t)=1/TkL00(ik)exp(ikt), T= ,
причем суммирование ведется по всем целым (kZ). Если соударения осуществляются массивными точечными телами, то коэффициенты Фурье |L00(ikt)| ~ |k-2| и периодическая функция Грина — непрерывная функция, производная которой имеет скачки при t = 2πk-1 (kZ)[2].
Для координат других тел, входящих в данную систему, имеет место аналог представления (1) вида
xj(t)=fj(t+φ)-Jχ0j(t), j=0,...,n-1,
где п — число тел, входящих в систему; периодические формулы Гринаχ0j(t)определяются проходными операторами динамической податливости [2,3,5,8] L0j(р) , связывающими перемещенияxj(t) с силой, приложенной в точке х0.
В представление (1) входят ударный импульс J и фаза φ, для нахождения которых используют условия удара
х(0) = Δ;J=m (1+R)|Ẋ(-0)|, (3)
где Δ — величина зазора или натяга; R ]0, 1 ] — коэффициент восстановления.
Соотношения (3) приводят к системе двух трансцендентных уравнений, решения которой вместе с (1) полностью определяют искомый процесс, который должен удовлетворять геометрическому условию х≤Δ и исследоваться на устойчивость. Пусть имеется синусоидальная вынуждающая сила (и, соответственно, синусоидальная функции f0(t)). Тогда, как правило, оказывается, что система трансцендентных уравнений, следующая из (3), дает два возможных решения и в практически важнейших случаях асимптотически устойчивый режим отвечает большему значению импульса. Заметим, впрочем, что здесь имеются и исключения [2,3,5,8].
2. Рассмотрим систему, представленную на рис. 1 - линейную цепочку с регулярной структурой, возбуждаемую гармонической внешней силой. Правый конец цепочки установлен с зазором Δ относительно неподвижной абсолютно жесткой стенки, так что левое крайнее тело может совершать колебания с соударениями. Интересуясь динамикой фильтрации, будем рассматривать цепочку без демпферов: малое вязкое трение не оказывает здесь существенного влияния; если же силы трения велики, то собственные динамические свойства системы проявляются слабо [2,3,5,8]. Заметим также, что предположение, будто вынуждающая сила действует только на крайнее левое тело, вообще говоря, несущественно и совершенно аналогично рассматриваются случаи других способов задания возбуждения.
Не ограничивая общности рассуждений, положим mj=1. Уравнения движения тел, входящих в цепочку, имеют вид
где xj (j= 0,..,n-1) — координаты точечных тел, образующих цепочку; отсчет ведется от равновесного состояния; Ф1(х0,Ẋ0) — символическое представление запись силы удара через
обобщенную функцию [2,3,5,8]. Если удар происходит приt = φ + кТ(T=), то [2,3] Ф1(х0,Ẋ0)=JT(t- φ), где импульс и фаза удара определяются условиями (3); T(t) – Т- периодическая последовательность -функций.
Для получения представления (1) необходимо найти локальную динамическую податливость L00(i), определяемую законом движения точки x0 при воздействии на нее синусоидальной силы, приложенной в ней же. Понадобятся также и выражения проходных динамических податливостей L0j(i)-«откликов» xj на синусоидальное воздействие, приложенное в точке x0. При помощи этих выражений и (1) будут найдены искомые законы движения xj(j>0).
Воспользовавшись результатами ранее приведенными в монографии [9], найдем
Здесь из-за отсутствия диссипации действительная форма ряда Фурье [2,3,5,8] удобнее. При k=0 получаем двухпараметрическое представление (1):
Пользуясь решением, данным в [2,3], и учитывая, что в соответствии со сказанным ранее выбирается большее значение импульса, получаем
Эти соотношения определяют точное решение задачи в предположениях одного удара за период движения. Графики зависимостей J() в различных вариантах приведены, в частности, в [2,3 ]. Эти зависимости определяют частотные свойства системы. Показано, чтов окрестностях собственных частот линейнойсистемы
значения J() близки к нулю и виброударный процесс носит малоинтенсивный характер. В окрестности корней Ωj* трансцендентного уравнения χ00(0;)=0 значения J() резко возрастают; система находится в нелинейном резонансном состоянии и виброударный процесс оказывается наиболее интенсивным.
Рис.2
Определив импульс и фазу, в соответствии с (2) находим для всех тел, входящих в цепочку:
где φk=arg L0k(i)- arg L00(i).
3. При этом выражение для ПФГ χ0k дается рядом Фурье (6). Принимая во внимание общие свойства механических фильтров, описанные в [9], и выведенные формулы (7) и (9), можно проанализировать процесс фильтрации со спектральной точки зрения.
Пусть 0 1.
В этих случаях положим соответственно (q)= expiq, |(q)|= expq и перепишем соотношение (9) с учетом (4)—(6) так:
При больших kи достаточно длинной цепочке (n»1) четвертый член в правой части формулы будет малым. Поэтому до конца цепочки могут дойти лишь низшие частоты и постоянная составляющая. Амплитуды высокочастотных гармоник экспоненциально затухают.
Аналогично рассматриваются другие возможные случаи. Если, например, > 2, то в (10) может доминировать лишь второй член и виброударный процесс воспринимается в конце цепочки как некоторая статическая нагрузка.
Наконец, если оказывается возможным равенство q = 2, то качественно анализ не изменится, однако составляющая частоты q будет затухать по линейному закону [5 ].
Прохождение виброударного процесса через фильтр низших частот удобно описать при помощи диаграммы рис.3. Здесь отмечены частотные области существования виброударных режимов с зазором Δ > 0 или натягом Δ< 0. В случае нулевого зазора (Δ≈0) заметные колебания оказываются возможными именно в этих зонах. Необходимо отметить, что при проходе частоты через эти зоны виброударные режимы могут «срываться» или возникать вследствие «жесткого запуска» - придания системе дополнительного одиночного импульсного воздействия (толчка) [2,3]. На рис. 3 на оси ординат показана величина Akn-1— амплитуда (полуразмах) колебания некоторого к-ro тела, близкого к последнему ((n—1)-му).
Рис. 3
Если частота > 2, то спектр передаваемого процесса предельно обедняется: до конца цепочки сможет доходить только постоянная составляющая, а сами составляющие цепочку тела будут практически покоиться. В рассматриваемом сейчас случае несимметричной ударной пары (рис. 1) при этом будет возникать увод тел из положения равновесия. Зная параметры системы и возбуждения и наблюдая лишь за положением удаленного к-то тела (хк), при помощи формулы (10) можно легко оценить импульс удара в ударной паре
J ≈|хkТс ⁄ (n — k)|
и тем самым, не производя никаких измерений в зоне ударов, получить информацию об интенсивности процесса.
Отметим, что с ростом числа к увеличивается и гладкость колебаний [2,3].
Следует заметить также, что в присутствии высокочастотных составляющих, вызывающих собственные колебания пружин, показанных на рис.1, часть этих составляющих может дойти до конца цепочки и описанная картина видоизменится, как, впрочем, должна видоизмениться и модель.
Заметим, наконец, что с точностью до обозначений аналогично анализируется фильтрация субгармонических виброударных процессов. Здесь из-за их низкочастотности спектр передаваемой вибрации может существенно обогатиться, однако, условия существования субгармонических виброударных процессов - достаточно жесткие. Поэтому, как правило, вопрос об их прохождении через фильтрующие системы здесь не разбирается.
4. Рассмотрим задачу о прохождении виброударных процессов через механические фильтры высших частот [9].
Рассмотрим систему, показанную на рис.4, состоящую из шарнирно соединенных безынерционных стержней с включенными посередине массивными точечными телами.
Рис.4.
Жесткости крайних пружин вдвое меньше остальных. Последнее предположение, естественно, несущественно, однако традиционно [9]: помимо некоторых вычислительных преимуществ здесь приобретается возможность описать практически важную, например, для задач вибротранспортирования «поступательную» форму движения с частотой Ωp = .
Далее принимается также: также mk = 1; удар моделируется по Ньютону; вынуждающая гармоническая сила приложена к нулевому шарниру.
Принимая [9] за обобщенные координаты перемещения шарниров хk. (k = 0,…n), приводим систему уравнений движения к виду
14x0tt+14x0tt+1∕2cx0+Ф1(x0,xot)=P1cost,
x(k-1)tt+2xktt+ x(k+1)tt+4cxk=0, k0, n,
xntt+x(n-1)tt+2cxn=0.
Для отыскания периодических режимов движения сохраняют силу соотношения (1)-(3) и (7)-(9). Разница состоит только в представлении соответствующих динамических податливостей. Пользуясь решением, данным в [9], находим(k = 0,… п.)
Теперь представления (7) — (9) составляются при посредстве (11); в остальном принципиальных различий нет. Однако при этом
что показывает отсутствие постоянной составляющей в движении всех шарниров, кроме левого.
В силу сказанного нет смысла выписывать определяющие соотношения, вид которых полностью определяется (7) —(6), (11), (12). Ограничимся качественным комментарием.
Собственные частоты линейной части системы лежат выше значения Ω0=2 и даются при помощи формул, полученных в [9]:
Ωk=2(1+coskn-1)-0,5, k=0,…,n.
Отсюда видно, что при kn: Ωk , что свидетельствует о том, что линейная часть системы— фильтр высших частот с полосой пропускания ≤ < . Поэтому диаграмма прохождения виброударного процесса (рассматриваются основные режимы частоты имеет вид, показанный на рис. 5.
Рис. 5
Все гармонические составляющие дойдут до конца цепочки, но так как основные (периода Т = 2⁄) резонансные виброударные режимы устанавливаются только справа от первой собственной частоты среза фильтра ( > Ω0), то постоянная составляющая всегда будет задерживаться и в такой системе увод типа описанного в предыдущем пункте невозможен.
Аналогично строятся диаграммы прохождения субгармонических процессов. Здесь до конца цепочки не дойдут гармоники l-l
Библиографическая ссылка
Крупенин В.Л. О ФИЛЬТРАЦИИ ВИБРОУДАРНЫХ ПРОЦЕССОВ: ОДНОМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ // Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/7014 (дата обращения: 19.04.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
(1)
, 
