Математическое моделирование процессов функционирования сложных систем
Анализ научной и технической литературы показал, что наиболее удобно при оценивании показателей функционирования (ПФ) сложных систем (СС) представлять их процесс функционирования в виде полумарковского процесса (ПМП), если заданы: граф состояний G(P,Q) и возможные переходы {i,j}; матрица Q(t)={Qij(t)} независимых функций распределения времени пребывания СС в i-том состоянии перед переходом в j-е состояние, если бы данный выход из состояния i был единственным; начальное состояние в момент t=0. В этих условиях алгоритм оценивания и исследования показателей эксплуатационных свойств (ЭС) и функционирования СС должен включать следующие составляющие [1].
1. Выявление возможных признаков выделения состояний, определение их содержания на основании описательной модели функционирования, т. е. анализа особенностей, динамики и режимов функционирования, условий и стратегий применения, видов и характера негативных воздействий, способов восстановления надежности и готовности и других факторов и эксплуатационных мероприятий, влияющих на готовность СС .
Адекватность описания функционирования СС существенно зависит от правильного определения содержания их состояния. Анализ существующих научных работ показал, что возможными признаками классификации состояний СС могут быть следующие: число отказавших подсистем; число неготовых подсистем; уровень пропускной способности (мощности, производительности); вид и число мероприятий (операций), выполненных или выполняемых СС и т.д. При таком подходе к определению состояний процесса функционирования СС в условиях марковского процесса (МП) параметры потоков переходов между ними представляют собой величины, равные интенсивностям отказов или восстановлений, различных видов подготовок и проведения технических обслуживаний, поступления заявок и их обслуживание, а также интенсивностям проведения других мероприятий при функционировании СС. В условиях ПМП требуется провести анализ переходов процесса на предмет выбора независимых функций распределения времени пребывания Qij(t). Теоретические исследования [1,2] и анализ статистических данных показывают, что при выборе независимых функций распределения Qij(t) наиболее часто эти функции встречаются в виде:
и другие.
Таким образом, на основе выбранных признаков идентификации состояний выделяются все состояния, в которых может находиться СС, образующих полную группу несовместных событий. При проведении анализа и определения состояний следует выбрать и обосновать независимые функции распределения времени пребывания СС Qij(t) в i-ом состоянии перед переходом в j-е.
2. Разработка моделей функционирования (МФ) СС в виде графа состояний и переходов G(P,Q), под которым понимается графическое представление состояний СС (пространство состояний процесса) и возможных переходов между ними, где Р- множество вершин графа, представляющие вектор вероятностей Рi, и Q - множество ветвей графа, операторами которых являются безусловные вероятности перехода процесса рij из i-го в j-е состояние и среднее значение времени пребывания процесса в i-ом состоянии до перехода в j-е состояние. Построение графа состояний и переходов СС начинается с составления полного набора ее состояний. Состояния СС можно разделить на полностью готовые к применению или частично готовые к применению состояния; состояния полностью или частично неготовые к применению; состояния полного или частичного отказов; состояния проведения эксплуатационных мероприятий, которые определяются режимами и динамикой функционирования, типами решаемых задач, условиями и способами применения, наличием негативных воздействий и т.д. Для удобства исследования готовности следует пронумеровать вершины графа состояний и переходов в определенном порядке.
3. Составление матрицы переходных вероятностей Р= |рij| предусматривает определение условных вероятностей рij переходов процесса (СС) из i-го состояния в j-е по соответствующим зависимостям, а именно, вероятность рij(t) перехода из состояния i в состояние j за время не более t определяется выражением:
(1)
а для неограниченного времени (Fij(t)=1)
(2)
где Qij(t) - независимая функция распределения времени пребывания СС в i-ом состоянии перед переходом в j-е состояние, если бы данный выход из состояния i был единственным.
4.Составление матрицы безусловных функций распределения времени пребывания СС в каждом i-м состоянии
F=|Fi(t)|, (3)
где Fi(t)- безусловная функция распределения времени пребывания в состоянии i определяется выражением
или (4)
где Fij(t) - условная функция распределения, т. е. вероятность того, что время пребывания в состоянии i не превосходит t, при условии, что из состояния i процесс переходит в состояние j.
5. Составление матрицы СС в каждом состоянии T= ItiI, i=1,n, где ti- математическое ожидание времени пребывания СС в i-ом состоянии определяется выражением
(5)
Иногда приходится для определения ti находить условные математические ожидания
где (6)
6. Сведение полученных функций Qij(t), pij, Fij(t), Ti в соответствующую таблицу, удобную для использования при решении задач.
7. Составление системы алгебраических уравнений
при , (7)
где z - вектор- строка, z=z(z1,z2,...,zk), определяющая стационарные вероятности zi застать вложенный марковский процесс в момент произвольного перехода в состояние i;k-общее число состояний процесса (СС).
8. Решение системы уравнений z=zP с целью получения формул для коэффициентов Ai путем выражения всех вероятностей ziчерез одну, принимаемую за базовую zδ т.е.
. (8)
9. Выбор подмножества состояний СС, суммарная вероятность пребывания которых нас интересует. К таким состояниям в зависимости от решаемой задачи могут относиться, например, пребывание в режиме готовности, в режиме подготовки к выполнению тех или других функций, в режиме выполнения возложенных функций и др.
10. Определение среднего интервала (математического ожидания) времени между последовательными попаданиями СС в состояние
где (9)
Характеристики tij в ряде конкретных задач являются искомыми величинами, так как определяют, например. средние сроки эксплуатации СС между ремонтами, обслуживаниями, отказами и т. д. Иногда возникает необходимость в определении (прогнозировании) средних интервалов между попаданиями СС в каждое состояние, которое находится по формуле
(10)
11. Определение математического ожидания времени одного перехода по формуле
где (11)
12. Определение выражений для показателей функционирования с помощью найденных аналитических зависимостей для вероятностей пребывания СС в интересующих нас состояниях по формулам;
Далее, используя численные методы, находим оригинал Рij(t). В зависимости от содержания задачи исследования ЭС СС могут быть получены соответствующие выражения для них.
Таким образом, представленный алгоритм использования ПМП при оценивании (исследовании) показателей функционирования СС сводится к нахождению вероятностно-временных показателей интересующих нас состояний в произвольно выбранные моменты времени как для стационарного, так и переходного режимов.
При исследовании ЭС СС важной характеристикой являются затраты на выполнение того или иного эксплуатационного мероприятия, т.е. экономических показателей и т.д. Так затраты, например, средние затраты С за единицу времени могут определяться по формуле:
(14)
где Сii- cредние затраты за единицу времени пребывания СС в i-м состоянии; Cij- средние затраты за переход из i-го состояния в j-е. При вычислении показателя С значение показателей Сii,Cij, образующих квадратную матрицу С{Cij}, предполагаются известными, т. е. их предварительно находят для конкретных СС.
Таким образом, если заданы граф состояний G(P,Q) и переходов {i,j}, матрица Q(t)={Qij(t)} независимых функций распределения времени пребывания СС в i-ом состоянии перед переходом в j-е, начальное состояние, а также матрица С={Cij} затрат на пребывание в i-ом состоянии и переход из него в j-е, то можно определять (исследовать) следующие используемые в практике создания и эксплуатации в соответствии с разработанным алгоритмом оценивания вероятностно-временные ЭС СС: pij; pij(t); pi; pi(t);ti; tij; zi; t;tii; C; и другие.
Отметим, что получаемые вероятностно- временные экономические показатели СС позволяют не только проводить их исследование, но и находить функции ограничений в задачах оптимизации параметров СС. При этом выражения (12- 14) могут быть использованы как целевые функции (для различных ситуаций), а оптимизируемые параметры вектора {Х} СС обычно являются параметрами распределений Qij(t)={Qij(t,x)}; C(x)={Cii(x), Cij(x)}.
***
Представлены основные этапы разработки математических моделей на основе полумарковского алгоритма оценивания и исследования вероятностно-временных показателей функционирования систем управления, которые могут найти применение в научной и практической деятельности при их создании и эксплуатации.
Литература
1. Адерихин И.В., Чертов В.В. Методика построения полумарковских математических моделей показателей функционирования сложных систем. М.: МГАВТ, 1999, с.30-44.
2.Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы и их приложения. К.: Наукова думка, 1982.
Библиографическая ссылка
Адерихин И.В., Кириченко М.В. Математическое моделирование процессов функционирования сложных систем // III Международная научная конференция «Современные проблемы информатизации в системах моделирования, программирования и телекоммуникациях».
URL: http://econf.rae.ru/article/4636 (дата обращения: 03.04.2025).
Прочитать публикацию в формате PDF
и другие.
(1) 
(2) 
или 
(4)
(5)
где 
(6) 
при 
, (7)
. (8)
между последовательными попаданиями СС в состояние
где 
(9)
(10)
где 
(11)
или 
где 
т.е. 
(12)
(13)
Aij(s) - преобразования Лапласа адъюнкты аij(t) матрицы AD(s); y(s)=|yi(s)|; 
j(s)=|p(s)|; p(s)=|pij(s)|; 
(14)