Заочные электронные конференции
 
     
Математическое моделирование процессов функционирования сложных систем
Адерихин И.В., Кириченко М.В.


Для чтения PDF необходима программа Adobe Reader
GET ADOBE READER

Математическое моделирование процессов функционирования сложных систем

Анализ научной и технической литературы показал, что наиболее удобно при оценивании показателей функционирования (ПФ) сложных систем (СС) представлять их процесс функционирования в виде полумарковского процесса (ПМП), если заданы: граф состояний G(P,Q) и возможные переходы {i,j}; матрица Q(t)={Qij(t)} независимых функций распределения времени пребывания СС в i-том состоянии перед переходом в j-е состояние, если бы данный выход из состояния i был единственным; начальное состояние в момент t=0. В этих условиях алгоритм оценивания и исследования показателей эксплуатационных свойств (ЭС) и функционирования СС должен включать следующие составляющие [1].

1. Выявление возможных признаков выделения состояний, определение их содержания на основании описательной модели функционирования, т. е. анализа особенностей, динамики и режимов функционирования, условий и стратегий применения, видов и характера негативных воздействий, способов восстановления надежности и готовности и других факторов и эксплуатационных мероприятий, влияющих на готовность СС .

Адекватность описания функционирования СС существенно зависит от правильного определения содержания их состояния. Анализ существующих научных работ показал, что возможными признаками классификации состояний СС могут быть следующие: число отказавших подсистем; число неготовых подсистем; уровень пропускной способности (мощности, производительности); вид и число мероприятий (операций), выполненных или выполняемых СС и т.д. При таком подходе к определению состояний процесса функционирования СС в условиях марковского процесса (МП) параметры потоков переходов между ними представляют собой величины, равные интенсивностям отказов или восстановлений, различных видов подготовок и проведения технических обслуживаний, поступления заявок и их обслуживание, а также интенсивностям проведения других мероприятий при функционировании СС. В условиях ПМП требуется провести анализ переходов процесса на предмет выбора независимых функций распределения времени пребывания Qij(t). Теоретические исследования [1,2] и анализ статистических данных показывают, что при выборе независимых функций распределения Qij(t) наиболее часто эти функции встречаются в виде:

и другие.

Таким образом, на основе выбранных признаков идентификации состояний выделяются все состояния, в которых может находиться СС, образующих полную группу несовместных событий. При проведении анализа и определения состояний следует выбрать и обосновать независимые функции распределения времени пребывания СС Qij(t) в i-ом состоянии перед переходом в j-е.

2. Разработка моделей функционирования (МФ) СС в виде графа состояний и переходов G(P,Q), под которым понимается графическое представление состояний СС (пространство состояний процесса) и возможных переходов между ними, где Р- множество вершин графа, представляющие вектор вероятностей Рi, и Q - множество ветвей графа, операторами которых являются безусловные вероятности перехода процесса рij из i-го в j-е состояние и среднее значение времени пребывания процесса в i-ом состоянии до перехода в j-е состояние. Построение графа состояний и переходов СС начинается с составления полного набора ее состояний. Состояния СС можно разделить на полностью готовые к применению или частично готовые к применению состояния; состояния полностью или частично неготовые к применению; состояния полного или частичного отказов; состояния проведения эксплуатационных мероприятий, которые определяются режимами и динамикой функционирования, типами решаемых задач, условиями и способами применения, наличием негативных воздействий и т.д. Для удобства исследования готовности следует пронумеровать вершины графа состояний и переходов в определенном порядке.

3. Составление матрицы переходных вероятностей Р= |рij| предусматривает определение условных вероятностей рij переходов процесса (СС) из i-го состояния в j-е по соответствующим зависимостям, а именно, вероятность рij(t) перехода из состояния i в состояние j за время не более t определяется выражением:

(1)

а для неограниченного времени (Fij(t)=1)

(2)

где Qij(t) - независимая функция распределения времени пребывания СС в i-ом состоянии перед переходом в j-е состояние, если бы данный выход из состояния i был единственным.

4.Составление матрицы безусловных функций распределения времени пребывания СС в каждом i-м состоянии

F=|Fi(t)|, (3)

где Fi(t)- безусловная функция распределения времени пребывания в состоянии i определяется выражением

или (4)

где Fij(t) - условная функция распределения, т. е. вероятность того, что время пребывания в состоянии i не превосходит t, при условии, что из состояния i процесс переходит в состояние j.

5. Составление матрицы СС в каждом состоянии T= ItiI, i=1,n, где ti- математическое ожидание времени пребывания СС в i-ом состоянии определяется выражением

(5)

Иногда приходится для определения ti находить условные математические ожидания

где (6)

6. Сведение полученных функций Qij(t), pij, Fij(t), Ti в соответствующую таблицу, удобную для использования при решении задач.

7. Составление системы алгебраических уравнений

при , (7)

где z - вектор- строка, z=z(z1,z2,...,zk), определяющая стационарные вероятности zi застать вложенный марковский процесс в момент произвольного перехода в состояние i;k-общее число состояний процесса (СС).

8. Решение системы уравнений z=zP с целью получения формул для коэффициентов Ai путем выражения всех вероятностей ziчерез одну, принимаемую за базовую zδ т.е.

. (8)

9. Выбор подмножества состояний СС, суммарная вероятность пребывания которых нас интересует. К таким состояниям в зависимости от решаемой задачи могут относиться, например, пребывание в режиме готовности, в режиме подготовки к выполнению тех или других функций, в режиме выполнения возложенных функций и др.

10. Определение среднего интервала (математического ожидания) времени между последовательными попаданиями СС в состояние

где (9)

Характеристики tij в ряде конкретных задач являются искомыми величинами, так как определяют, например. средние сроки эксплуатации СС между ремонтами, обслуживаниями, отказами и т. д. Иногда возникает необходимость в определении (прогнозировании) средних интервалов между попаданиями СС в каждое состояние, которое находится по формуле

(10)

11. Определение математического ожидания времени одного перехода по формуле

где (11)

12. Определение выражений для показателей функционирования с помощью найденных аналитических зависимостей для вероятностей пребывания СС в интересующих нас состояниях по формулам;

а) стационарные вероятности

или где т.е. (12)

б) нестационарные вероятности

(13)

где Aij(s) - преобразования Лапласа адъюнкты аij(t) матрицы AD(s); y(s)=|yi(s)|; j(s)=|p(s)|; p(s)=|pij(s)|;

Далее, используя численные методы, находим оригинал Рij(t). В зависимости от содержания задачи исследования ЭС СС могут быть получены соответствующие выражения для них.

Таким образом, представленный алгоритм использования ПМП при оценивании (исследовании) показателей функционирования СС сводится к нахождению вероятностно-временных показателей интересующих нас состояний в произвольно выбранные моменты времени как для стационарного, так и переходного режимов.

При исследовании ЭС СС важной характеристикой являются затраты на выполнение того или иного эксплуатационного мероприятия, т.е. экономических показателей и т.д. Так затраты, например, средние затраты С за единицу времени могут определяться по формуле:

(14)

где Сii- cредние затраты за единицу времени пребывания СС в i-м состоянии; Cij- средние затраты за переход из i-го состояния в j-е. При вычислении показателя С значение показателей Сii,Cij, образующих квадратную матрицу С{Cij}, предполагаются известными, т. е. их предварительно находят для конкретных СС.

Таким образом, если заданы граф состояний G(P,Q) и переходов {i,j}, матрица Q(t)={Qij(t)} независимых функций распределения времени пребывания СС в i-ом состоянии перед переходом в j-е, начальное состояние, а также матрица С={Cij} затрат на пребывание в i-ом состоянии и переход из него в j-е, то можно определять (исследовать) следующие используемые в практике создания и эксплуатации в соответствии с разработанным алгоритмом оценивания вероятностно-временные ЭС СС: pij; pij(t); pi; pi(t);ti; tij; zi; t;tii; C; и другие.

Отметим, что получаемые вероятностно- временные экономические показатели СС позволяют не только проводить их исследование, но и находить функции ограничений в задачах оптимизации параметров СС. При этом выражения (12- 14) могут быть использованы как целевые функции (для различных ситуаций), а оптимизируемые параметры вектора {Х} СС обычно являются параметрами распределений Qij(t)={Qij(t,x)}; C(x)={Cii(x), Cij(x)}.

***

Представлены основные этапы разработки математических моделей на основе полумарковского алгоритма оценивания и исследования вероятностно-временных показателей функционирования систем управления, которые могут найти применение в научной и практической деятельности при их создании и эксплуатации.

Литература

1. Адерихин И.В., Чертов В.В. Методика построения полумарковских математических моделей показателей функционирования сложных систем. М.: МГАВТ, 1999, с.30-44.

2.Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы и их приложения. К.: Наукова думка, 1982.

Библиографическая ссылка

Адерихин И.В., Кириченко М.В. Математическое моделирование процессов функционирования сложных систем // III Международная научная конференция «Современные проблемы информатизации в системах моделирования, программирования и телекоммуникациях».
URL: http://econf.rae.ru/article/4636 (дата обращения: 21.10.2021).



Сертификат Получить сертификат