КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИЗМА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ЦЕПЯМИ С УЧЕТОМ НЕИДЕАЛЬНОСТИ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДВУХСТЕПЕННЫХ ШАРНИРОВ
Смирнов В.А., Петрова Л.Н.
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Россия
Рис. 1. Кинематическая схема МПКЦ типа «гексапод»
Использование при построении технологического оборудования механизмов с параллельными кинематическими цепями (МПКЦ) позволяет существенно снизить металлоемкость оборудования при обеспечении необходимой жесткости. Теоретически оборудование, построенное на основе МПКЦ (оборудование с параллельными приводами рабочего органа – ОПП) способно обеспечивать высокую точность формирования траектории движения рабочего органа; высокая удельная (на единицу массы) жесткость позволяет обеспечить высокую точность и скорость обработки.
Авторами разработан ряд алгоритмов управления приводами ОПП, построенного на основе МПКЦ гексаподного типа (рис. 1), обеспечивающие формирование траектории с требуемой точностью [1, 2]. Алгоритмы основаны на кинематической модели используемого МПКЦ.
Для показанного на рис. 1 МПКЦ кинематическая модель сводится к 6 нелинейным уравнениям, связывающим 6 входных и 6 выходных координат. В качестве входных координат используются длины , раздвижных штанг; роль выходных могут выполнять 3 линейные координаты полюса , расположенного на платформе, заданные в глобальной системе координат (СК) , и 3 угловые координаты, определяющие разворот связанной с платформой СК относительно . В случае использования в качестве угловых координат углов Крылова кинематическая модель будет иметь следующий вид [3]:
(1)
где для сокращения записи введены обозначения: , и т. д.
Рис. 2. Модель идеального карданового шарнира
Длина раздвижной штанги , где точки , являются центрами соответствующих шарниров: точка –карданового шарнира, точка –сферического шарнира.
Конструкция карданового шарнира должна обеспечивать пересечение и взаимную перпендикулярность осей, вокруг которых осуществляются повороты в этом шарнире (рис. 2). Точка пересечения осей и будет являться центром такого шарнира.
В идеальном сферическом шарнире центром будет являться точка – центр сферического элемента, входящего в конструкцию такого шарнира (рис. 3). Конструктивное исполнение шарнира должно обеспечивать неподвижность этой точки.
Рис. 3. Центр идеального сферического шарнира
Система уравнений (1) позволяет решать применительно к МПКЦ как прямую, так и обратную задачи кинематики. Обратная задача решается аналитически, решение прямой задачи в большинстве случаев возможно только численно. Входящие в уравнения координаты центров шарниров для реального МПКЦ могут быть определены с использованием экспериментальных данных [4].
Рис. 4. Модель реального карданового шарнира
Рассмотрим, как изменится вид кинематической модели в случае неидеальности кардановых шарниров. На рис. 4 приведена кинематическая схема реального карданового шарнира совместно со штангой длиной . Анализ кинематической схемы показывает:
Реальная ось поворота неподвижной рамки будет скрещиваться с идеальной осью ; реальная ось поворота верхней рамки будет скрещиваться как с идеальной осью , так и с осью .
Понятие «центр» носит для реального карданового шарнира идеализированный характер; в качестве центра может выступать практически любая точка, желательно с известными координатами в глобальной для МПКЦ СК.
В качестве длины штанги будет выступать расстояние от точки до точки , лежащей на продольной оси штанги и имеющей известные координаты в СК .
Расстояние между центрами шарниров будет связано с длиной раздвижной штаги нелинейной зависимостью. Определение сводится к пересчету координат точки из СК в СК и, далее, в глобальную СК . Данный пересчет возможен, если известны следующие параметры модели, показанной на рис. 4:
- координаты точки и направляющие косинусы осей СК в СК ;
- координаты точки и направляющие косинусы осей СК в СК .
Системы координат и могут быть введены следующим образом:
Точка лежит на пересечении реальной оси поворота подвижной рамки и перпендикуляра, опущенного на нее из точки ; ось является продолжением этого перпендикуляра; ось дополняет тройку осей до правой.
Точка лежит на пересечении реальной оси поворота неподвижной рамки и перпендикуляра, опущенного на нее из точки ; ось является продолжением этого перпендикуляра; ось дополняет тройку осей до правой.
Таким образом, при учете неидеальностей кардановых шарниров в левых частях уравнений (1) будут присутствовать нелинейная функция . В этом случае аналитическое решение обратной задачи кинематики становится невозможным, однако учет неидеальностей реальных кардановых шарниров позволит более точно решать траекторные задачи с использованием алгоритмов [1, 2].
Список литературы
1. Смирнов, В.А. Обеспечение требуемой точности перемещения рабочего органа оборудования с параллельными приводами / В.А. Смирнов, Л.Н. Петрова // Материалы научно-технической конференции (7-10 сентября 2009) «Оптимизация процессов резания, разработка и эксплуатация мехатронных станочных систем». Уфа: УГАТУ, 2009. – С. 113 – 118.
2. Смирнов, В.А. Решение траекторной задачи в оборудовании с параллельными приводами рабочего органа / В.А. Смирнов, Л.Н. Петрова // Вестник УГАТУ. – 2009. – Т. 12. – № 4 (33). – С. 96–101.
3. Сулацкая, Е.Ю. Моделирование рабочего пространства станка с параллельной кинематикой / Е.Ю. Сулацкая, Л.Н. Петрова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». – 2009. – Вып. 13. – № 11 (144). – С. 42–45.
4. Смирнов, В.А. Параметрическая идентификация модели механизма с параллельными кинематическими цепями / В.А. Смирнов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». – 2009. – Вып. 14. – № 33 (166). – С. 18–23.
Библиографическая ссылка
Смирнов В.А., Петрова Л.Н. Кинематическая модель механизма с параллельными кинематическими цепями с учетом не-идеальности используемых двухстепенных шарниров // III Международная научная конференция «Современные проблемы информатизации в системах моделирования, программирования и телекоммуникациях».
URL: http://econf.rae.ru/article/4667 (дата обращения: 21.12.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
, 
раздвижных штанг; роль выходных могут выполнять 3 линейные координаты полюса 
, расположенного на платформе, заданные в глобальной системе координат (СК) 
, и 3 угловые координаты, определяющие разворот связанной с платформой СК 
относительно 
кинематическая модель будет иметь следующий вид [3]:
(1)
, 
и т. д.
, где точки 
, 
являются центрами соответствующих шарниров: точка 
. Анализ кинематической схемы показывает: 
неподвижной рамки будет скрещиваться с идеальной осью 
; реальная ось поворота 
верхней рамки будет скрещиваться как с идеальной осью 
до точки 
, лежащей на продольной оси штанги и имеющей известные координаты в СК 
.
будет связано с длиной раздвижной штаги 
нелинейной зависимостью. Определение 
сводится к пересчету координат точки 
и, далее, в глобальную СК 
и направляющие косинусы осей СК 
;
и направляющие косинусы осей СК 
лежит на пересечении реальной оси поворота подвижной рамки и перпендикуляра, опущенного на нее из точки 
является продолжением этого перпендикуляра; ось 
дополняет тройку осей до правой.
является продолжением этого перпендикуляра; ось 
дополняет тройку осей до правой.
. В этом случае аналитическое решение обратной задачи кинематики становится невозможным, однако учет неидеальностей реальных кардановых шарниров позволит более точно решать траекторные задачи с использованием алгоритмов [1, 2].