Виброударные процессы, порождаемые распределенными объектами, взаимодействующими с прямыми осциллирующими преградами
Изучаются виброударные процессы, порождаемые распределенным ударным элементом, в качестве которого выступает защемленная на концах струна, взаимодействующая с вибрирующими препятствиями: с прямой, колеблющейся по некоторому закону стенкой, расположенной по одну сторону от оси статического равновесия струны или двумя с такими стенками, установленными с двух сторон от этой оси. Образующиеся стоячие волны могут иметь трапецевидные профили. При их реализации, точки струны в течение половины каждого периода колебаний либо равномерно движутся, либо покоятся. Показано, что распад трапециевидных волн может быть объяснен возникновением стохастического ускорения.
1. Рассмотрим плоские колебания линейной, защемленной на концах струны, соударяющейся с прямой абсолютно жесткой вибрирующей стенкой, остающейся, параллельной оси статического равновесия (рис.1,а) или такую же струну, расположенную между двумя стенками, каждая из которых может вибрировать или одна стенка может быть неподвижной (рис.1,б). Для определенности ограничимся задачей с одним вибрирующим ограничителем, предполагая расмотреть другие задачи этого класса в последующих работах.
Итак, рассмотрим плоские колебания линейной, защемленной на концах струны, соударяющейся с прямой абсолютно жесткой вибрирующей стенкой, остающейся, параллельной оси статического равновесия. Пусть искомый прогиб есть и (х, t),
-1/2 ≤х≤1/2 - закон Т-периодических колебаний стенки в абсолютной системе координат h(t) = -∆- εh1(t) < 0 (ε > 0 -параметр). Считая натяжение и плотность единичными, имеем (см. [1—4])
a.
б.
Рис.1
u ≥ 0, и (1/2, t)=0, u(x,t) ≥ h(t), -∞εω. Это преобразование описывает поведение любой точки из отрезка удара. Исследуем его, введя новую переменную τк = ={½ π-1 ω tk}, где скобки обозначают дробную часть числа: 0 < τ< 1. После вычислений имеем из (7)
(11)
причем во втором равенстве отброшен малый член, учитывающий время нахождения струны в "зоне вибрации".
Внося первое уравнение (11) во второе, с точностью до членов ε2ω2получаем
(12)
Преобразование (12) определяет отображение интервала (0,1) на себя. Оно будет растягивающим, если К = | δτк+1 / δτк| >1.
Учитывая (12), получаем условие возникновения стохастической неустойчивости:
(13)
Неравенство (13) не имеет места, если Δ = 0 (трапециевидные волны (4) изохронны: ω = 2π) или если | cos 2 π τк| ≈0 (удары всех точек приходятся на координаты и = —∆ — ε). При К< 1 преобразование (12) определяет периодические или почти периодические режимы.
При К > 1 ввиду случайности последовательности {tk}отрезки удара (и вместе с ними трапециевидные профили стоячих волн) распадаются. Исследование характеристик профилей распавшихся волн представляет собой самостоятельную проблему. Однако, как указывалось, в ряде случаев стоячие волны способны сохранить "изломанные профили", подобные показанным на рис. 3.
Согласно (13) "наименее устойчивыми" оказываются режимы, отвечающие τк → 0 или 1 (и = —∆—2ε или — ∆), т.е. режимы, бывшие ранее периодическими. Положив в (13) cos 2πτк = 1, найдем предельно возможную скорость и „ стохастически ускоряемых точек струны: υk < ω(επ~l Δ)1/2 = υ*. Таким образом, частота возбуждения оказывается основным параметром, влияющим на стохастическую неустойчивость.
Подобные рассмотрения можно выполнить и при R < 1. Точно так же все проведенные выше построения могут быть перенесены и на случай несинусоидального закона вибрации стенки h(t), а также на случай симметричной системы с двумя вибрирующими стенками (ср. [4]).Отметим, что часть изложенных результатов остается в силе при рассмотрении решетчатых 2D аналогов рассмотренных систем.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 09-08-00941-а).
ЛИТЕРАТУРА
1.Крупенин В.Л.ДАН, 1991, т. №1. С. 106 - 1102.
2.Bamberger A., Schatzman M. - Saim. J. Math. Anal., 1983, vol. 14, № 3, p. 560-595.
3. Cabannes H. ~ Acustica,1984, voL 55, p. 14-20.
4. Крупенин В.Л. - ДАН, 1990, т. 313, № 6, с. 1390-1394.
5. Babitsky V.I.,. Krupenin V.L. Vibration of Strongly Nonlinear Discontinuous Systems.- Berlin. Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2001. –404 p.p.
6. Наraux A., Cabannes Н. - Nonl. Anal., 1983, № 7, p. 129-141.
7. Веприк A.M., Крупенин В.Л.Машиноведение, 1988, № 6, с. 8-16.
8. Крупенин В.Л. - Изв. АН СССР. МТТ, 1986, № 1, с. 25-32.
9. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л.Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука,1985. 320 с.
10. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. 271 с.
11. Крупенин В.Л. - Проблемы машиностроения и надежности машин. 2006. №3. С. 16-22.
12. .Крупенин В. Л. - Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. № 6. С. 12-18.
Прочитать публикацию в формате PDF
(11)
(12)
(13)