Вертинская Н. Д. профессор, доктор технических наук
Иркутский государственный технический университет, Россия
stevia@mail.ru
Определитель поверхности
Как известно, поверхность – двупараметрическое множество точек [1].
Например, плоскость несет множество точек, имеющих две координаты.
Поверхность можно образовать движением линии gi по некоторой линии di. Такой способ образования поверхности назы-вается кинематическим. Линия gi называется образующей, линия di-направляющей (рис.1). Говоря о кинематическом способе образования поверхности вводится понятие определителя поверхности, как совокупности независимых условий, однозначно определяющих поверх-ность.
Определитель поверхности состоит из двух частей: геометрической и алгоритмической. Например, сфера F однозначно определяется центром и радиусом, что записывается – Ф(О,R). Центр О и радиус составляют геометрическую часть определителя, а алгоритмическая часть формулируется словами: сфера это множество точек пространства, удаленных от точки О на расстоянии R.
Такие поверхности, как поверхности фюзеляжа самолета, кузова авто-мобиля, лопатки турбины и т.д. имеют сложные законы образования. Их оп-ределители сложны и разнообразны. Поэтому выработали универсальный определитель, геометрическую часть которого составляет дискретный каркас (множество) образующих, а алгоритмическую часть – алгоритм уплотнения каркаса (переход от дискретного каркаса к непрерывному) .
Например, в топографии рельеф земной поверхности задается семейством горизонталей – сечений поверхности плоскостями уровня (рис.2) .
Построение проекционных изображе-ний поверхностей вызывает определенные трудности. Поэтому кинематические поверх-ности задаются проекциями элементов гео-метрической части определителя. Для того, чтобы определить одна поверхность нами за-дана или семейство поверхностей, нужно выяснить является ли чертеж поверхности полным. Критерием полноты чертежа являе-тся: по одной проекции точки, можно ли по-строить единственную вторую ее проекцию.
Некоторые поверхности можно описать алгебраическими уравнениями в декартовой прямоугольной системе координат. В этом случае поверхность будет алгебраической, в противном - трансцендентной.
Порядок поверхности определяется количеством точек ее пересечения с любой прямой. Это определение для алгебраических поверхностей, если же точек пересечения поверхности с прямой бесконечно много, то такая поверхность трансцендентная.
Порядок поверхности определяется и порядком плоской кривой, полученной в пересечении поверхности с любой плоскостью.
Многообразие поверхностей требует их систематизации. При рассмот-рении кинематического способа образования поверхностей в основе систе-матизации лежат два признака: вид образующих и закон их перемещения.
По виду образующей все поверхности можно разделить на линейчатые (образующая прямая) и нелинейчатые (образующая кривая пространственная или плоская), а по закону перемещения образующей – поверхности параллельного переноса, вращения и винтовые.
Линейчатые поверхности
Поверхности, образованные движением прямой по заданному закону называются линейчатыми. Линейчатые поверхности широко используются в технике. Это покрытия и ограждения архитектурных сооружений, поверхно-сти крыльев и оперения, отсеков фюзеляжей, пилонов самолета, поверхностей цилиндрических и конических передач и т.д. Закон движения прямой линии обычно задается направляющими. Таких направляющих может быть не более трех.
Действительно, пусть даны три направляющие пространственные кривые (рис. 3).
Возьмем, например, точку МÎ, и примем ее за вершину конической поверхности S(М,), у которой кривая будет направляющей, тогда кривая пересечет коническую поверхность S (M, ) хотя бы в одной точке, например, N. Прямая (МN)=g ÌS обязательно пересечет кривую хотя бы в одной точке, например, L .Перемещая точку М по кривой мы получим множество прямых, которые выделят в пространстве единственную линейчатую поверхность Ф.Одну из направля-
ющих кривых, например, можно заменить поверхностью (плоскостью) .
Тогда линейчатая поверхность будет называться поверхностью Каталана.
2
Образующие g этой поверхности отвечают трем условиям: они пересекают кривые и и параллельны поверхности (плоскости) Если в качестве поверхности D мы выберем плоскость, то получаемые поверхности будут называться поверхности с плоскостью параллелизма.
В зависимости от вида направляющих и линейчатые поверхности с
плоскостью параллелизма называются цилиндроидом, коноидом и косой
плоскостью.
Поверхности с плоскостью параллелизма
Цилиндроидом называется линейчатая поверхность с плоскостью па-раллелизма, у которой направляющими являются пространствен-ные или плоские кривые.
Чтобы решать задачи на поверхности цилиндроида необходимо задать его каркас прямолинейными образующими gi(gi1, gi2). Пусть у нас дана плоскость параллелизма П1, значит gi будут горизонталями. Далее строим несколько прямолинейных образующих.
Для того, чтобы убедиться, что мы задали единственную поверхность цилиндроида, надо на его поверхности решить задачу (рис. 4):
если точка на поверхности задана ее одной проекцией, то необходимо найти вторую ее проекцию, если она будет единственной, то полученная поверхность будет единственная.
Решение. Пусть дана точка А задана фронтальной проекцией А2, то проведя через нее горизонтальную проекцию линейной образующей`g2 и по ней построим горизонтальную проекцию`g1, на которую спроецируем точку А2
и получим точку А1. Если точка В задана своей горизонтальной проекцией В1, то чтобы найти фронтальную проекцию В2 необходимо через провести горизонтально
проецирующую плоскость, например, , где – кривая по ко-торой пересекает плоскость с цилинд-роидом. Построив фронтальную проекцию кривой и спроецировав точку В2, на получим проекцию В1. Отсюда делаем заключение, что поверхность цилиндроида единственная.
3
Коноидом называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, имеющая криволи-нейную и прямолинейную направляющие. Гео-
метрическая часть определителя будет выгля-
деть так :Ф(,`d” ) (рис. 5).
Косой плоскостью называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма и прямолинейными образующими `d’,`d” (рис. 6).
Коническая поверхность общего вида об-разуется движением прямой g (образующей), проходящей через фиксированную точку S (вершину) и пересекающей направляющую кривую d’ (рис. 7).
Коническая поверхность с несобственной вершиной S¥(s) называется цилиндрической (рис. 8).
Линейчатая поверхность, образованная множест-вом касательных к пространственной кривой m, называется торсовой или поверхностью с ребром возврата. Направляющая кривая m поверхности Ф называется ребром возврата (рис. 9).
Рис. 9
Поверхности вращения
Поверхность, образованная вращением некоторой линии (образующей) вокруг некоторой прямой i, называется поверхностью вращения. Геометрии-ческая часть такой поверхности записывается так: Ф(i, g). На чертеже поверх-ность вращения Ф(i,g) задается осью i и образующей g (рис.10).
Для построить точку АÎФ, необходимо определить окружность m-сечения поверхности Ф плоскостью S2^i. Окружность m определяется центром
4
О(О1,О2)=iÇS и радиусом [OL], где L= lÇS.
Сечения поверхности Ф плоскостями, пер-пендикулярными оси i, называются паралле-лями.
Параллель, радиус которой больше радиуса смежных параллелей называется экватором n (n1, n2). Параллель, радиус которой меньше сме-жных радиусов, называется горловой l (l1, l2).
Cечения поверхности вращения плоскос-тями, проходящими через ее ось, называются меридианами. Меридиан, принадлежащий фронтальной плоскости уровня Г1=g1, называется главным меридианом g (g1, g 2).
Cемейства параллелей и меридианов образуют прямоугольный сетчатый каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан, пересекающиеся под прямым углом.
Далее рассмотрим поверхности вращения четвертого прядка, получен-ные вращением окружности g вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, которые называются торами. В зависимости от расположения оси i от-носительно центра окружности, тор может быть открытым (d>r) или закры-тым(d
Библиографическая ссылка
Вертинская Нелли Дмитриевна-один автор ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦВЕТНЫХ РИСУНКОВ
ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
// Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/5091 (дата обращения: 04.05.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
(рис. 3).
, и примем ее за вершину конической поверхности S(М,
), у которой кривая 
пересечет коническую поверхность S (M, 
являются пространствен-ные или плоские кривые. 
, где 
– кривая по ко-торой пересекает плоскость 
с цилинд-роидом. Построив фронтальную проекцию кривой 
и спроецировав точку В2, на 
получим проекцию В1. Отсюда делаем заключение, что поверхность цилиндроида единственная. 
,`d” ) (рис. 5).
оническая поверхность с несобственной вершиной S¥(s) называется цилиндрической (рис. 8).
