О свободных колебаниях многослойных углеродных нанотрубок, соединенных химической связью
Углеродные нанотрубки склонны слипаться [1], образуя наборы или "канаты" из нанотрубок, если расстояние между нанотрубками в пределах 0,34 нм то нанотрубки склеиваются под действием Ван-дер-Ваальсовых сил, такие связи легко разрушаются (см. введение). На расстоянии между нанотрубками в пределах 0,142 нм при наличии дефектов кристаллической решетки между атомами углерода образуется химическая связь, устойчивая при свободных колебаниях нанотрубок, закрепленных с одного края.
Целью решения данной задачи является определение нижней части спектра собственных частот двух многослойных нанотрубок, соединенных в местах их контакта химической связью.
Этапы решения задачи:
Определение адекватности модели многослойной углеродной нанотрубки в виде анизотропной оболочки.
Определение в Nanoengineer-1 минимального размера устойчивой области контакта 2-х нанотрубок методом молекулярной динамики.
Построение в ANSYS на основе модели, эскортированной из Nanoengineer-1, анизотропных оболочек с заданными областями контакта и определение свободных собственных колебаний системы из двух нанотрубок.
Анализ полученных результатов и эффективности работы комплекса программ Nanoengineer-1 и ANSYS, использованного для решения этой задачи.
На первом этапе в ANSYS строится модель одной многослойной углеродной нанотрубки. Несмотря на то, что согласно [2] минимально возможной толщиной нанотрубки для исследования методом механики сплошной среды является 3,4 нм, т.е. состоящей из 10 слоев, далее рассматривается трехслойная нанотрубка с толщиной 1,02 нм. Выбор такой толщины обусловлен следующими факторами. Во-первых, в отличие от [2], где применяется модель анизотропии твердого тела, здесь будет рассматриваться модель анизотропной, точнее ортотропной, оболочки. Во-вторых, для проверки адекватности модели необходимы теоретические и экспериментальные значения механических свойств нанотрубок других авторов, а для нанотрубок из 10 и более слоев они не известны или недостаточны.
Вычисляются собственные частоты свободных колебаний нанотрубки, закрепленной с двух концов.
Модель оболочки строится c помощью команды препроцессора Modelling>Operate>Extrude>Lines>About Axis.
Плотность (DENS) нанотрубок равна 2300 кг/м3, модуль Юнга – 1 ТПа [3].
Сетка конечных элементов SHELL93 многослойной анизотропной оболочки строится с шагом 0,5 нанометров и соответствует предложенной здесь для описания нанообъектов модели, основанной на теории многослойных анизотропных оболочек.
По результатам частотного анализа получены 10 частот и форм свободных колебаний. Полученные собственные частоты и частоты [3] сравниваются в таблице 4. Расхождение результатов, не превосходящее 2 процентов, говорит о достаточной адекватности континуальной модели, не учитывающей поведение отдельных атомов.
Номер собственной частоты и формы
ANSYS
[3]
%
1
0,645
0,6487
0,564
2
2,524
2,5321
0,321
3
5,0763
5,0232
1,057
4
7,0651
7,1043
0,552
5
9,3029
9,316
0,14
6
12,203
12,079
1,029
7
15,503
15,504
0,004
8
19,556
19,597
0,209
9
24,301
24,34
0,161
10
29,7
29,714
0,046
Таблица 1. Собственные частоты свободных колебаний углеродной нанотрубки, закрепленной с двух сторон
Далее рассматриваются более длинные и широкие контактирующие друг с другом углеродные нанотрубки.
Исходные параметры для расчета свободных колебаний двух нанотрубок, закрепленных с одного конца в недеформируемой неподвижной пластине:
Толщина 3хслойной нанотрубки равна 1,02 нанометра.
Расстояние между нанотрубками вне зоны контакта − 6 нм, что соответствует расстоянию между нанотрубками в [4].
Для определения размера устойчивой зоны контакта проводится анализ в Nanoengineer-1 места контакта двух нанотрубок. Для моделирования нанотрубок длиной 1000 нанометров из-за большого числа составляющих их частиц требуется суперкомпьютер, поэтому далее рассматривается участкок нанотрубки длиной 10 нанометров (рис.1), а размер контактирующей зоны варьируется от 1 до 0,3 нанометров.
Контакт между нанотрубками моделируется путем разрушения связей между атомами каждой нанотрубки (создаются дефекты) и соединения всех разорванных связей попарно между нанотрубками.
Рис.1. Атомарная модель участка контактирующих нанотрубок
(всего 34400 атомов)
В результате моделирования методом молекулярной динамики с помощью потенциала ОФФ и соответствующего численного алгоритма установлено (рис.2), что для устойчивости зоны контакта достаточно объединения атомов двух нанотрубок на участке длиной 1 нанометр.
Рис.2. Моделирование и исследование устойчивости зоны контакта двух нанотрубок в Nanoengineer-1
На следующем этапе решения задачи с помощью функции передачи модели из Nanoengineer-1 в ANSYS строятся опорные точки, предназначенные для формирования модели нанотрубок в виде анизотропных оболочек.
Таким образом, благодаря созданию единого комплекса программ не требуется тратить время на отдельный запуск ANSYS, на определение и установки в нем необходимого наномасштаба, формы и расположения нанообъектов.
Строится сетка конечных элементов (КЭ) с шагом 0.5 нм в зоне контакта и 20 нм на остальных частях поверхностей нанотрубок (рис.3), затем вычисляются собственные частоты свободных колебаний двух скрепленных нанотрубок и определяются формы свободных колебаний.
Рис.3. Сетка КЭ системы, состоящей из двух контактирующих нанотрубок.
Рис.4. 4 первые формы свободных колебаний двух контактирующих нанотрубок.
На рис.4 представлены 4 формы свободных колебаний.
Рис.5. 27 и 30 формы свободных колебаний двух контактирующих нанотрубок.
Таким образом, с помощью комплекса программ Nanoengineer-1 и ANSYS было проведено комплексное исследование свободных колебаний системы из двух углеродных нанотрубок, соединенных химической связью в зоне контакта. Определен размер устойчивой зоны контакта двух нанотрубок методом молекулярной динамики с помощью нового потенциала и соответствующего численного алгоритма, и при минимально возможном размере устойчивой зоны контакта между нанотрубками определены собственные частоты и формы свободных колебаний системы из двух нанотрубок. Данные о собственных частотах необходимы при разработке новых наноэлектромеханических систем (НЭМС). Основа НЭМС на основе нанотрубок – это механическая энергия, выделяемая при подаче на нанотрубки тока с переменным напряжением, при частоте изменения напряжения, близкой к собственной частоте колебаний нанотрубки, амплитуда колебания максимальна. Пример такой НЭМС представлен в работе [5].
При совпадении частоты колебаний переменного электрического тока с одной из частот свободных колебаний посредством пондеромоторных сил возникает резонанс механических колебаний и, как следствие, увеличение амплитуды колебаний. В одних случаях, с таким явлением следует бороться, например, в антенных конструкциях, в других случаях это явление может служить источником механических движений наноконструкции, направленных на достижение определенных целей.
С целью учета пондеромоторных сил здесь предложена следующая математическая модель. Уравнения равновесия многослойной анизотропной оболочки [6]:
(1)
Соотношения упругости [6]:
(2)
здесь Ti, Sij, Ni− внутренние мембранные и перерезывающие силы; Mi, Mij− изгибающие и крутящие моменты, εi, ξi, ω, − деформации; Cij, Kij, Dij – коэффициенты жесткости оболочки, учитывающие многослойность и свойства анизотропии оболочки; A, B– коэффициенты Ляме криволинейной системы координат α, β;X, Y, Z– компоненты вектора внешней нагрузки; 1 , 2 – главные кривизны, а 1, 2 − радиусы линий главных кривизн срединной поверхности оболочки.
где − вектор магнитной индукции, − вектор электрической индукции, − вектор магнитной напряженности, − вектор электрической напряженности, − вектор намагниченности, − вектор электрической поляризации, − вектор электрического тока, с – скорость света, – плотность распределенных электрических зарядов; а также уравнениями
(4)
где − электрическое сопротивление проводника, − коэффициент магнитной проницаемости, − диэлектрическая постоянная.
В уравнениях (1), (2) учитываются также пондеромоторные силы, порожденные влиянием электромагнитного поля, порожденного переменным электрическим током [7]:
(5)
где − «немой» индекс суммирования (индекс Эйнштейна), − дифференциальный векторный набла-оператор.
Заключение.
Собственные частоты углеродной нанотрубки используются в [8] [9] [10] для построения нанорадио из одной однослойной углеродной нанотрубки. «Радиоволны, принимаемые нано-антенной, заставляют ее вибрировать, но это происходит только тогда, когда частота радиоволны совпадает с резонансной частотой изгибания нанотрубки-антенны. Таким образом, нанотрубка выступает еще и в роли тюнера, принимая радиоволны строго определенного набора частот» [11]. Набор собственных частот для одиночных однослойных углеродных нанотрубок в [8] [9] [10] варьируется от 10 МГц до нескольких ГГц. Использование многослойных нанотрубок большого диаметра сокращает расходы на производство нанорадио, т.к. однослойные нанотрубки дороже. Кроме того, в процессе производства нанотрубок образуются дефекты кристаллической решетки и несколько нанотрубок слипаются в пучок. Как видно из решения задачи, набор собственных частот двух многослойных нанотрубок, соединенных химической связью, сохраняется в значениях от 10 МГц, что соответствует частотам радиостанций. Использование такого пучка многослойных нанотрубок так же применимо для производства нанорадио, кроме того изменяя место слипания и число нанотрубок можно изменять и собственные частоты, таким образом можно изменять частоты приема нанорадио.
Также решена задача о вероятностном распределении свободных колебаний группы многослойных углеродных нанотрубок, случайным образом соединенных химической связью.
В рамках задачи создана параметрическая модель на языке APDL группы многослойных углеродных нанотрубок, случайным образом соединенных химической связью. В модели можно изменять следующие параметры:
KOLICH – количество нанотрубок
DLINA – длина нанотрубок
RADIUS – радиус нанотрубок
DELENIE – место соединения нанотрубок (0,5 – середина, 0 и 1 – края)
OTKLON – отклонение нанотрубок друг от друга
TOLS – толщина нанотрубок
С помощью этой модели проведены расчеты собственных частот группы из 10 трехслойных нанотрубок длиной 1000 нм с отклонением OTKLON в 6 нм, скрепленных по середине (рис. 6) и по краям (рис. 7)
Так же проведен вероятностный анализ пяти трехслойных нанотрубок длиной 300 нм, место соединения которых определяется нормальным законом распределения. Параметр DELENIE задается с матожиданием 0,5 и дисперсией 0,15. В ANSYS получены математическое ожидание и дисперсия максимального напряжения в первой форме собственных частот свободных колебаний (рис. 8).
Рис.6. 9-ая форма свободных колебаний десяти контактирующих по середине нанотрубок
Рис.7. 9-ая форма свободных колебаний десяти контактирующих по краям нанотрубок и список собственных частот
Рис. 8. Математическое ожидание и дисперсия максимального напряжения в первой форме собственных частот свободных колебаний нанотрубок в зависимости от числа экспериментов
Список литературы
1. Юдинцев В. МЭМС-датчики: нанотехнологии наступают // Электроника: наука, технология, бизнес. 2006. № 8. С. 26–30.
2. Лисовенко Д.С. Описание механических свойств углеродных и неуглеродных наноусов и нанотрубок в рамках теории упругости анизотропного тела // Автореферат канд. дисс. М.: ИПМех РАН. 2010. 27 c.
3. Pentaras D. Vibration, buckling and impact of carbon nanotubes // Dissertation Ph.D. Florida Atlantic University. 2009. 136 p.
4. Izadi-Najafabadi A, Futaba DN, Iijima S, et al. Ion Diffusion and Electrochemical Capacitance in Aligned and Packed Single-Walled Carbon Nanotubes // Journal of the American Chemical Society. 2010. V. 132 (51). P. 18017-18019.
5. Sazonova V. et al. A tunable carbon nanotube electromechanical oscillator // Nature. 2004. V. 431. P. 284–287.
6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.
7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т. 1. 536 с.
8. Jensen K., Weldon J., et.al. Nanotube radio // Nano Lett. V. 7. № 11. 2007. P. 3508−3511.
9. Koksal C. E., Ekici E. A nanoradio architecture for interacting nanonetworking tasks // Nano Communication Networks. № 1 (1). 2010. P. 63-75 .
10. Chaste J., Lechner L., et.al. Single Carbon Nanotube Transistor at GHz Frequency // Nano Letters. V. 8 (2). P. 525-528.
11. Свидиненко Ю. Нано-радио из одной нанотрубки – прорыв в НЭМС-устройствах [Электронный ресурс]. 2007. URL: http://www.nanonewsnet.ru/articles/2007/nano-radio-iz-odnoi-nanotrubki-proryv-v-nems-ustroistvakh (дата обращения: 10.09.2011).
Библиографическая ссылка
Михайлов И.С. О свободных колебаниях многослойных углеродных нанотрубок, соединенных химической связью // Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/6292 (дата обращения: 03.05.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
(2)
− деформации; Cij, Kij, Dij – коэффициенты жесткости оболочки, учитывающие многослойность и свойства анизотропии оболочки; A, B– коэффициенты Ляме криволинейной системы координат α, β;X, Y, Z– компоненты вектора внешней нагрузки; 
1 , 
1, 
(3)
− вектор магнитной индукции, 
− вектор электрической индукции, 
− вектор магнитной напряженности, 
− вектор электрической напряженности, 
− вектор намагниченности, 
− вектор электрической поляризации, 
− вектор электрического тока, с – скорость света, 
– плотность распределенных электрических зарядов; а также уравнениями
(4)
− электрическое сопротивление проводника, 
− коэффициент магнитной проницаемости, 
− диэлектрическая постоянная.
(5)
− «немой» индекс суммирования (индекс Эйнштейна), 
− дифференциальный векторный набла-оператор.
