Кинематически возможные решения задачи о растяжении плоского образца с использованием деформационно-энергетического условия пластичности.
Рассмотрим растяжение полосы с непрерывным полем скоростей перемещений. Также предположим, что захваты, обеспечивающие перемещение верхнего и нижнего концов образца не препятствуют движению материала вдоль ось их.
Граничные условия:
Данные граничные условия приводят к предположению, что весь образец находится в пластическом состоянии с однородным полем напряжений и прямолинейному полю линий скольжения, наклоненных к оси х под углом .
Поле скоростей при плоской деформации с учетом условия текучести, связанного с линиями уровня поверхности деформаций [1] ,
определяется системой уравнений [2]:
(1)
Преобразуя (1) по законам и , получаем волновые уравнения:
(2)
Общее решение системы (2) имеет вид:
(3)
где произвольные дважды дифференцируемые функции.
Будем рассматривать симметричное пластическое течение с двумя осями симметрии и . Граничные условия для скоростей перемещений:
при , при , при , при . (4)
Общее решение системы уравнений (2) при данных граничных условиях имеет вид:
(9)
где - нечетная дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным условиям.
Найдем связь между относительным удлинением образца и главными инвариантами тензора E :
(19)
Изменение ширины полосы а с течением времени определяется выражением:
где начальная длина плоского образца.
Усилие, необходимое для растяжения полосы:
(21)
Изменение толщины пластины с течением времени .
Была рассмотрена задача по растяжению полосы при новом условии пластичности, связанном с линиями уровня поверхности деформаций и получено решение.
При условии текучести Мизеса решение подобной задачи имеет вид:
На рис. 1 представлены зависимости усилий при различных условиях текучести от деформаций . Под цифрой (1) на графике изображена зависимость для условия текучести Мизеса, под цифрой (2) зависимость для нового условия. Коэффициенты описывающие изменение геометрии пластин задаются формулами:
- для условия пластичности Мизеса,
- для нового условия пластичности.
При условии пластичности Треска изменяется лишь один линейный размер: либо а, либо f. Данные коэффициенты позволяют экспериментально определить выбор условия текучести для конкретного конструкционного материала.
Список литературы
1. А.И. Хромов, А.Л. Григорьева, Е.П.Кочеров Деформационно-энергетический критерий растяжения жесткопластических тел. Доклады Российской Академии Наук, 2007, том 413, №4, с. 1-5
2. А.Л. Григорьева Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформационных состояний несжимаемых жесткопластического тела.
Вестник ЧГПУ им. Яковлева серия: механика предельного состояние №1 . Периодическое издание, журнал, г.Чебоксары: ЧПГУ, 2007. 33-36с.
Библиографическая ссылка
Григорьев Я.Ю., Григорьева А.Л. КИНЕМАТИЧЕСКИ ВОЗМОЖНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСТЯЖЕНИИ ПЛОСКОГО ОБРАЗЦА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДЕФОРМАЦИОННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ. // Физико-математические науки.
URL: http://econf.rae.ru/article/6702 (дата обращения: 23.04.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
(1)
и 
, получаем волновые уравнения:
(2)
(3)
произвольные дважды дифференцируемые функции.
и 
. Граничные условия для скоростей перемещений:
, при 
, при 
, при 
. (4)
(9)
- нечетная дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным условиям.
(19)
начальная длина плоского образца.
(21)
.
. Под цифрой (1) на графике изображена зависимость для условия текучести Мизеса, под цифрой (2) зависимость для нового условия. Коэффициенты описывающие изменение геометрии пластин задаются формулами:
- для условия пластичности Мизеса,
- для нового условия пластичности.