В статье рассмотрен механизм организации авторезонансных технологических машин виброударного действия, основанный на организации цепи обратной связи, включающей измерение импульсов удара рабочего органа, который является интегралом движения в соответствующей консервативной модели процесса. Приводятся примеры и даются расчетные формулы. Указано, что подобные принципы организации машин могут быть построены и при измерении других интегралов движения.
Рассмотрим в качестве примера модель одного класса авторезонансных машин виброударного действия [1]. Следуя методикам, предложенным в [2 - 4], представим исследуемый объект как линейную систему с произвольным числом степеней свободы (рис. 1), содержащую рабочий орган, представляющий собой твердое тело массы m.
Рис.1. Объект – линейная система с произвольным числом степеней свободы
Будем предполагать, что в результате построения математической модели или в результате натурных измерений известна система операторов динамической податливости [2, 3], полностью определяющих линейную часть системы. Рабочий процесс заключается в организации периодических соударений между рабочим органом и неподвижным ограничителем (обрабатываемой поверхностью).
Пусть координата рабочего органа массой m, совершающего одномерные колебания, есть х. Пусть, далее, в точке х1, приложена постоянная сила G, обеспечивающая прижим рабочего органа к ограничителю, в точке х2 приложено управляющее силовое воздействие В1. вид которого нужно указать, исходя из конструктивных особенностей авторезонансной системы. Это воздействие, очевидно, формируется при помощи организации цепи обратной связи. Вблизи точки контакта рабочего органа с ограничителем помещен датчик, измеряющий какие-либо параметры его движения. Управляющее воздействие формируется в соответствии с сигналом датчика.
Приводя внешние силы к точке х, можно записать уравнение движения в операторной форме
x(t)=L1(0)G +L2(p)B1 – L(p)Ф(x,xt), (1)
где Ф(x,xt) – сила ударного взаимодействия [2, 3], индексация по независимой переменной обозначает дифференцирование, Ln(p) – оператор из точки хn в точку х (при этом, если хnх. то индекс опускается); pd/dt – оператор дифференцирования.
Удар предполагается абсолютно упругим; потери энергии при рабочем процессе могут быть учтены, например, введением соответствующих составляющих в представление для оператора L(p) [2, 3, 5]. Предполагается также, что все преобразователи, входящие в систему, работают безынерционно.
В отсутствие трения и управляющего воздействия уравнение движения консервативной системы, отвечающей (1), будет иметь вид
х(t)=L1(0)G-L10(p) Ф(x,xt), (2)
где для операторовLn0(p) предполагается, что Im Ln0(i) = 0,
Re Ln0 (i) = Re Ln (i).
Пусть х0 L1(0)G. Периодический режим с одним соударением за период движения консервативной системы(Т0) в предположении, что начало отсчета времени совмещено с ударом, имеет вид [2, 3]:
х(t)= х0-J(0,t), 0=2π/Т0, (3)
где периодическая функция Грина (ПФГ), отвечающая операторуLl0(p), дается рядом Фурье [2, 3]
0,t)= Т0-1L10(ik0)exp(ik0t). (4)
Импульс удара в данном случае дается соотношением:
J=2m│xt(-0)│≥0 (5)
и определяется из условия совместности [2, 3] x(0)=, где - величина зазора или предварительного натяга. Из соотношения (5) получаем:
J=(х0-)/0,0). (6)
Импульс удара J в консервативной виброударной системе оказывается интегралом движения, взаимно-однозначно, связанным с полной энергией Е. Наша авторезонансная система будет организована так, что обратная связь будет построена в результате фиксации значений какого-либо из интегралов движения. Будет показано, что это весьма удобный способ организаций авторезонансных машин виброударного действия.
Частотные диапазоны существования решения (3), (6) определяются в конкретных случаях из условия х(t)≤. На практике проверяют выполнение условия J≥0, что в большинстве случаев равносильно.
Соотношение (5) определяет уравнение скелетной кривой J=J(0).
Перепишем уравнение движения (1), используя оператор динамической жесткости L-1(p) [2, 3, 5]:
L-1(p)x=Gx+B(p;x)-Ф(x,xt), (7)
Gx= L-1(0) L1(0)G,
B(p;x)= L-1(p) L2(p)B1.
Будем строить управляющее воздействие B(p;x) таким, чтобы в исходной системе (1) можно было бы реализовать периодический автоколебательный режим движения, который сохранял бы форму режима движения консервативной системы (3).
Пусть L-1(p)= W1(p)+W2(p), причем Im W1(i)=Re W2(i)/ Решение (5) построено в предположении W2(p)0. Внесем представление (3) в соотношение (7) при некотором значении частоты 0, удовлетворяющему условию х(t)≤ и найдем в результате
W2(p)[ х0-J(0,t)]=B[p; х0-J(0,t)]. (8)
Будем далее искать вид функции B(p;x) в классе функций со структурой {K(J)W(p)}, где K(J) некоторая дифференцируемая на любом конечном отрезке функция; W(p) – мероморфная функция комплексного переменного р . Принимая во внимание, что W2(p)х0=0, из соотношения (8) находим:
W2(p)[ -J(0,t)]= K(J)W(p) [-J(0,t)]. (9)
Таким образом, должно быть
W(p) =W2(p), K(J)=1. (10)
Итак, получены условия, определяющие вид управляющего воздействия В. Из уравненияK(J) = 1 можно определить стационарные значения импульса J0, а из обращения уравнения скелетной кривой J() —частоты автоколебаний. Выберем, для определенности,K(J) = K0J-1,К0 = const > 0. Тогда J0=К0 и частоты автоколебаний определяются из соотношения К0= J().
Найденные решения надо исследовать на устойчивость. В инженерных расчетах часто используют так называемое энергетическое условие [2, 3, 5]. Строго говоря, энергетическое условие является лишь необходимым. Эффективность использования этого условия в прикладных задачах широко известна [2–5].
Составим функцию E(J), отвечающую балансу работ неконсервативных сил за период движения Т
E(J)=-J2[ W2(p)(t) - K(J)W2(p)(t)]p(t)dt. (11)
После преобразований получаем
Е(J)=—J2[1 — K(J)],=const > 0. (12)
Для асимптотически устойчивых периодических режимов при стационарном значении интеграла движения (в данном случае импульса удара) силы диссипации стабилизируют систему и поэтому в соответствии с энергетическим условиемdE/dJ 0 – коэффициент вязкого демфирования. В силу того что рассматривается система с зазором, сила G = 0. В консервативном случае (b = K = 0) решение (3), (5) имеет вид [5]:
х (t) = -J(t),
(t)= [2Ω sin ½ΩT0]-1 cosΩ (t - ½T0), (15)
J= -2Ωtg(πΩ0-1).
Указанное во второй формуле (15) конечное представление для периодической функции Грина имеет место только дляt[0, Т], а для всехt Rэто представление должно быть продолжено по периодичности. Диапазон собственных частот системы Ω≤ < 2Ω.
В данном случаеW1(р) = р2 +Ω2, W2 (р) =2bp.
ПриK(J)= K0J-1стационарное значение импульса удара J0 = K0/2b.
Решение сохраняет вид, описываемый первой формулой (15). В соответствии с третьей формулой (15), частота автоколебаний 0 = πΩ {π -arctg [K0/(4bΩ)]}-1. Найденный режим асимптотически устойчив [5].
Следует заметить, что организация рассматриваемых машин требует, очевидно, жесткого запуска [2, 3] виброударного процесса, так как для организации фиксации ударных импульсов процесс должен начаться.
При помощи частотно-временных методов [2, 3, 5] аналогично могут быть исследованы и системы более высокой размерности. Кроме того, могут быть использованы и другие интегралы движения.
Учет потерь энергии при ударе может быть выполнен при помощи «поправки» в коэффициенте вязкого трения [5] b =b1+ rπ-1Ω, где b1, — «истинный» коэффициент вязкого трения,r=1-R, R — коэффициент восстановления (0< R ≤1).
Рассмотренная система обладает замечательным свойством сохранять форму режима движения консервативной системы. Такие системы называются псевдоконсервативными [6].
Следует заметить, что принципы авторезонансного построения виброударных систем могут быть использованы при проектировании специальной виброиспытательной аппаратуры [7,8]
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты №№ 13-08-01235 a, 13-08-90419 Укр_ф_а) и ГФФИУ (проект № Ф53.7/038)
Крупенин В.Л. Ударные и виброударные машины и устройства // Интернет-журнал «Вестник научно- технического развития». (vntr.ru). 2009 г. №4 (20). – С. 3-32.
Бабицкий В. И., Крупенин В. Л. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985.- 320 с.
Babitsky V.I.,. Krupenin V.L Vibration of Strongly Nonlinear Discontinuous Systems.- Berlin. Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2001. –404 p.p.
Асташев В. К, Бабицкий В. И., Вульфсон И.И.и др. Динамика машин и управление машинами. М.: Машиностроение, 1988.- 240 с.
.Широкополосные виброударные генераторы механических колебаний// Веприк А.М., Крупенин В.Л., и др. - Л.: Машиностроение, 1987. -76 с.
V.L. Krupenin. To the calculation of pseudo-conservative self-oscillation vibroimpact systems//Письма в интернет-журнал «ВНТР». (vntr.ru). 2010 г. №12 (40). P.p.32-33.
Божко Е.А., Крупенин В.Л., Мягкохлеб К.Б. Математическаямодель и структурная схема трехкоординатной системы возбуждения вибраций электромагнитного типа // Интернет-журнал «Вестник научно- технического развития». (vntr.ru). 2013 г. №6 (70), 2013 г. – С. 3-9.
Библиографическая ссылка
Крупенин В.Л., Мягкохлеб К.Б. ОБ АВТОРЕЗОНАНСНЫХ МАШИНАХ ВИБРОУДАРНОГО ДЕЙСТВИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ, ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ УДАРНЫМ ИМПУЛЬСОМ // Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/7860 (дата обращения: 03.05.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
х. то индекс опускается); p
0,t)= Т0-1
L10(ik0)exp(ik0t). (4)
[ W2(p)(t) - K(J)W2(p)(t)]p(t)dt. (11)
[0, Т], а для всехt 