Аннотация. Продолжено изучение сильно нелинейной сплошной среды сложной структуры с распределенным ударным элементом. Эта модель позволяет дать описание процесса формирования и распространения вибрационных полей в механических конструкциях с большим числом ударных пар. Даны необходимые определяющие соотношения. Приведены примеры одномерных вариантов модели - оснащенных стержней со сложными структурами.
Abstract. The study of the strongly nonlinear continuum complex structure with distributed impactor. This model allows us to give a description of the formation and propagation of vibration in the fields of mechanical structures with a large number of pairs of shock. The necessary constitutive relations. Are examples of one-dimensional versions of the model - equipped with rods with complex structures.
1. В работах [1-3] введены модели сплошных сред сложной структуры, содержащих "несущие" и "присоединенные" части. Точка такой среды характеризуется, вообще говоря, вектором перемещения сколь угодно высокой размерности.
В работах [2 - 5] (см. также [9]) на частных примерах рассмотрены сильно нелинейные аналоги таких сред с присоединенными частями, содержащими распределенные ударные элементы; их реологические модели содержат ударные пары. Рассмотрим одно обобщение упомянутой теории.
где ρ- плотность несущей среды,λ, μ – параметры Ламе, характеризующие ее упругость. Пусть интенсивность объемных сил имеет следующую структуру:F= F1+ F0, где F1, - заданный вектор, а
F0(x, t)= - с1(u– уn(1)) -c2(u - уn(2)), (2)
где предполагается, что с каждой точкой среды связана ударная пара, состоящая из двух взаимодействующих линейных стационарных подсистем А(I)(х) и А(II)(х), определяемых системами операторов динамической податливости
L(I)qj(p)= O(р-2), L(II)lk(p)= O(р-2),
где р = d̸dt, а индексыq,j,l,к изменяются на некоторых множествах, определяемых размерностями взаимодействующих подсистем, параметры которых могут, вообще говоря, зависеть от х. Для замыкания системы (1), (2) добавим соотношения
где уn(I,II)(х,t) и уk(I,II)(х,t) - перемещения точек подвеса и взаимодействия, у0 = уk(II) - уk(I)- относительное сближение ударников взаимодействующих подсистем, к которым приведены плотности тII(х) и тI(х);Ф1(у0, уt0) - плотность силы удара (для системы A(I) в (3) и (4) выбираем знак "плюс", для A(II) - "минус"); в эти же уравнения могут быть внесены какие-либо функции f(I,II)k,n, описывающие дополнительные внешние воздействия. Граничные условия ставятся точно так же, как и в классическом случае - для уравнения (1), моделирующего несущую конструкцию (ее физические и геометрические качества). Частотные свойства амортизированного оборудования, генерирующего виброударные процессы, дает модель присоединенной части среды, содержащей распределенный ударный элемент.
Механизм связи несущей и присоединенной частей определяет структуру глобального вибрационного поля. Данный подход, возможно, жертвует информацией об особенностях каких-либо конкретных элементов системы, а также об эффектах, проявление которых возможно только при учете дискретности модели [8].
2. Для практических расчетов важно рассмотреть одномерные случаи [2-4, 7] - модели протяженных конструкций с разнообразным амортизированным оборудованием – так называемые оснащенные стержни (рис. 1). Предполагаем, что распределенный ударный элемент подчиняется гипотезе, являющейся континуальным аналогом классической гипотезы о прямом центральном ударе. Тогда вместо (1), (2) имеем скалярное уравнение несущей части среды вида
ρutt -Euxx+c1(u-yn(I)) + c1(u-yn(II)) – F1 =0, (5)
где площадь сечения стержня единична; смысл обозначений тот же, что и ранее; структура ставших скалярными соотношений (3), (4) сохраняется. Плотность силы удара (для определенности берется несимметричный ударный элемент [4- 6]) задается соотношениями
y0[x,(x)] =Δ(x),
(6)
J(х) = М(X) [1 +R(x)] у0t [x, (x - 0)] 0,
где Δ(х) - распределение зазоров (натягов);J(x),(х) иR(x) - плотность ударного импульса, распределения моментов удара и коэффициента восстановления. Считаем, что к взаимодействующим точкам приведены плотности тII(х) иmI(x). Это предположение корректно, так как, в свою очередь, следует из предположения, что асимптотика операторов динамической податливости ~р-2..Приведенная линейная плотность
М(х) = mI(x)mII(x) [mI(x)+mII(x)]-1.
В дальнейшем, для определенности, изучая Т- периодические режимы с одним ударом за период движения, в несимметричном случае считаем
Ф1(y0,yt0) = J(x)δT[t-(x)],
где
δT(t) = exp(ik2πT-1t), к = 0,±1,...;
δT- Т-периодическая последовательность δ-функций Дирака. При этом у0Δ. Постановка задачи завершается добавлением граничных условий
Будем рассматривать основные режимы считая, что =2πТ-1; случаи субгармонических (=2π(lТ)-1; l=1,2, ...) или (при надлежащем возбуждении) комбинационных режимов (со (=2πq(lТ)-1;q,l=1,2,...) рассматриваются аналогично [5, 6].
3. Для отыскания периодических режимов, отвечающих заданной возбуждающей вибрации, перейдем к интегральным уравнениям T-периодических колебаний, предположив для простоты выкладки, что Lqj(I,II)(p) = const(x). Это предположение для общей качественной теории несущественно, но вносит вычислительные упрощения. В уравнениях (4) и (3) прежде всего надо определить поля перемещенийu(х,t); уk(I,II)(х,t) и у0 = уk(II) - уk(I). После их нахождения определение функций, описывающих движение, в том числе и перемещений подвеса не составит труда. Используя периодические функции Грина (ПФГ) - установившиеся реакции линейных подсистем на периодические последовательности δ-функцй Дирака - с помощью общих методик [3-6, 8,9] имеем три интегральные уравнения, которые запишем в виде:
(9)
В этих уравнениях ядра зависят от структуры операторовLqj(I,II)(p) и функции Грина линейной краевой задачи. Они определяются стандартными громоздкими выражениями и здесь не приводятся (ср. [9]).
Физический смысл уравнений (7)—(9) оказывается таким: «полевые функции» складываются в результате проявления различных силовых факторов, каждый из которых воздействует на определенный структурный элемент среды.
Например, поле перемещенийи(х, t) складывается, во-первых, из решение задачи как результат кинематического или силового возбуждения конца с последнем случае
u(x,t)=Р(Е0)-1 sin0x(cos0l)-1 cost, (10)
где значение величины 0 зависит от параметров операторовLqj(I,II)(p). После ряда стандартных вычислений находим
Составляющие, описываемые при посредстве интегральных операторов с ядрами U1,2 соответственно, - суть вклады, определяемые перемещениями, возникающими вследствие соударений в каждой из двух составляющих ударного элемента (I и II).
Соотношения (8)и (9) вполне аналогичны. Рассмотрим для определенности (9).Здесь полевая функцияук(I)(х, t)содержит четыре составляющих. Во-первых - решение линейной задачи:ук(I)(х, t)=Lкn(I)(i)с1u1. Во-вторых - вклады, определяемые, интегральными операторами с ядрамиYIkIиYIIkI - перемещения «точки соударения», в данном случае системы I, приобретаемые из-за ударов, но возбуждаемые благодаря возникновению перемещений соответственно в первой и второй системах, образующих ударный элемент. И, наконец, составляющая, определяемая интегральным оператором с ядром χ(I)- есть результат непосредственного воздействия на удар в данной точке.
Интенсивность влияния того или иного силового фактора определяется видом операторов динамической податливости, но ясно, однако, что, благодаря обычно выраженным фильтрующим свойствам линейных динамических систем в (7) доминирует первый член, а в (8) и (9) - вначале четвертый, затем первый.
Сделаем весьма принципиальное замечание. Свойства выражения (10) и других с ним связанных выражений определяются величиной 0 (11). Если частота воздействия близка к одной из собственных частот присоединенных систем
то величина может стать комплексной. В этом случае присоединенное оборудование оказывает на несущую часть влияние, сходное с влиянием системы линейных динамических гасителей колебаний (ср. [1]). Интенсивные резонансные виброударные процессы развиваются при удалении от собственных частот линейной системы. При их развитии присоединенное оборудование может вести себя подобно системе ударных гасителей колебаний (ср. [2, 3]).
4. Получим представление, определяющее в общем виде искомый виброударный процесс и отвечающие ему поля перемещений.
Вычтем (9) из (8) и обозначимY*(x,z,t-s) ядро интегрального оператора, осуществляющего двойное интегрирование. Тогда
Здесьуko =уk0(II)-уk0 (I); χ= χ(I)+χ(II).Так как Ф1 представима через δ-функции, проведем интегрирование по s, а затем воспользуемся гипотезой (6) и, обозначая, Uq=Ui – U2 формулой (8). Имеем
Представление (17) (двухфункциональное представление [8]) определяет распределение вибрации по несущему стержню. Операторные уравнения (15), (16) определяют неизвестные функцииJ(x) и (x). Они достаточно сложны и их исследование и построение решений представляет самостоятельную проблему. Важные частные случаи были рассмотрены в [3,4].
При анализе комбинационных режимовp:q (в частности субгармонических режимов 1:q) вид соотношений (14)—(17) и др. принципиально не меняется: соответствующие ПФГ строятся на периодеp-1qT [7].
5. Рассмотрим систему, состоящую из большого ; числа однотипных механизмов, расположенных на вибрирующих основаниях (рис. 2). Этой модели можно естественным образом сопоставить среду с распределенным ударным элементом:
где, предполагаемые малыми коэффициенты связи a1,2(x) имеют размерность [кг/м]."Индивидуальная" динамика таких систем подробно описана в [5, гл. 7], Избегая громоздких выражений, которые могут быть достаточно легко воспроизведены при помощи соотношений, имеющихся в [2-4,7,9], наметим схему решения задачи. Предположим для определенности, что все механизмы установлены с натягом Δ(х) < 0 (на рис. 2 показаны механизмы с зазорами, чтобы подчеркнуть, что сделанное допущение не принципиально), а "собственные частоты" оборудования Ω12(х) =[c1,2(x)/m1,2(x)] много меньше
Рис.2
частот несущего стержня. Тогда в нулевом приближении резонансные одночастотные режимы присоединенных механизмов даются формулами
Фазу процесса получим из нулевого приближения (a1,2 = 0 - случай "замороженной" системы, когда взаимодействия между элементами присоединенных систем при разных x нет). Выбирая ее значение из условия существования режимов с большими импульсами [5, 6], отнесем ее ко "входному воздействию":
Здесь величина 0 строится при помощи (11) и выражешй для динамических податливостей L1,2(i). Используя (18)—(20) и (22) - (25), после преобразований приходим к первому приближению вибрационного поля несущего стержня, которое имеет вид интегрального представления:
где χ(x,z,t) [0πk+1lk] – ПФГ стержня [5,8].
Взятие входящей сюда квадратуры приводит к весьма громоздким, но достаточно просто интерпретируемым формулам, по своему физическому содержанию близким к полученным ранее в [3, 9].
6. В заключение сделаем несколько принципиальных замечаний.
(i) Необходимость обращения к подобным задачам диктуется, прежде всего, тем обстоятельством, что в реальных машинных конструкциях именно множественные систематические соударения элементов амортизированных подсистем весьма часто оказываются "ответственными" за формирование глобального виброполя и за виброактивность конструкций в целом,
(ii) Предложенные модели позволяют также исследовать и стохастизацию вибрационных полей, хотя наиболее опасными для вибростойкости конструкций оказываются резонансные виброударные процессы, исследуемые с помощью изложенных методик.
(iii) Круг рассмотренных систем может быть расширен за счет более общих моделей. Например, в качестве несущей конструкции могут быть взяты двумерные струнные решетки [10] (рис.3, а), а в качестве амортизированного оборудования – жестко связанная с узлами решетки система механизмов с силовым замыканием (рис. 3, б) [5, 6]. Смысл обозначений на рис. 3 – очевиден. Рассмотрение этого класса задач будет проведено в последующих работах.
а б
Рис.3.
Статья выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № № 13-08-01235 и 13-
08-90419 Укр_ф_а).
Литература
Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.
Крупенин В.Л. К теории сильно нелинейных виброводов // Машиноведение. 1987. № 1. С.25-32.
Широкополосные виброударные генераторы механических колебаний // Крупенин В.Л., Веприк А.М. и др. Л.: Машиностроение, 1987. 76 с.
Крупенин B.JI. Вибрационные поля в системах сложной структуры со множественными разрывами // ДАН. 1995. Т. 343. № 6. С. 1-85.
Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985.320 с. .
Berlin. Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2001. –404 p.p.
Крупенин BJI. К анализу виброударных процессов в системах с большим числом ударных пар // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. № 2. С. 97-105. Асташев В.К., Крупенин В.Л. Волны в распределенных и дискретных виброударных
системах и сильно нелинейных средах// Проблемы машиностроенияи надежности
машин.1998, № 5, с. 13-30
. Крупенин В.Л. К описанию процессов прохождения нелинейных волн через
машинные конструкции, моделируемые посредством сильно нелинейных сплошных
сред сложной структуры (часть 1 и 2 )// Интернет-журнал «ВНТР», №№6, 7.- 2011.-С.26-33; с.3-16.
Крупенин В.Л. К анализу динамики колеблющейся двумерной решетки // Интернет-
журнал «ВНТР», №2, 2007.-С.8-17.
Библиографическая ссылка
Крупенин В.Л. О РАСЧЕТЕ ВИБРАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ В МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТАХ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ УДАРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
// Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/7863 (дата обращения: 23.12.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
Δ. Постановка задачи завершается добавлением граничных условий
(9)
