О базисности собственных функций корректных краевых задач для дифференциального уравнения на отрезке
В настоящей работе изложены некоторые результаты теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что более трудными являются обратные задачи для дифференциальных уравнений высших порядков с нераспадающиемися граничными условиями. В данной работе исследуется единственность решения обратной задачи спектрального анализа для дифференциальных уравнений высших порядков с нелокальными граничными условиями. Частный случай указанных граничных условий представляют двухточечные нераспадающие граничные условия. Таким образом, результаты настоящей статьи охватывают как распадающиеся, так и нераспадающие граничные условия. Именно, в этом смысле основной результат настоящей статьи обобщает результаты монографии [1], где приведены подобные теоремы единственности для распадающихся граничных условий.
1. Вначале приведем известные результаты по прямой задаче спектрального анализа дифференциальных операторов высших порядков на отрезке. В работе [2], изложена возможность разложения функции из некоторого функционального пространства по собственным и присоединенным функциями дифференциального оператора порожденного в функциональном пространстве при линейным дифференциальным выражением с переменными коэффициентами
(1)
с единственным ограничением
(1) резольвентное множество оператора – непустое множество. Не умаляя общности, полагаем, что комплексное число 0 принадлежит резольвентному множеству оператора . Коэффициенты выражения удовлетворяют условию
(2)
Согласно известной теореме М. Отелбаева [1] область определения такого оператора описывается с помощью набора функций из пространства
(3)
где пространство С.Л. Соболева, скалярное произведение пространства Отметим мною указанный факт также можно найти в [3]. Нам удобно ввести граничные формы
(4)
а также фундаментальную систему решений однородного уравнения
(5)
с условиями Коши в нуле
где - символ Кронекера.
Обозначим через характеристический определитель, который определяется по формуле
Введем еще одну функциональную систему решений однородного уравнения (5) с условиями
(6)
Заметим [2], что введенные функции представляют целые функции экспоненциального типа от . Нам понадобиться следующая лемма:
Лемма 1.
Резольвента оператора имеет следующее интегральное представление
(7)
где - оператор, соответствующий нулевым условиям Коши в нуле и порожденный дифференциальным выражением , оператор сопряженный к оператору .
Доказательство леммы 1.
Обозначим правую часть соотношения (7) через Тогда
(8)
где
Поскольку решения задачи Коши, то
С другой стороны, функций представляют решения однородного уравнения (5), то правая часть соотношения (8) представляет решение неоднородного уравнения Теперь покажем, что выполняются краевые условия Действительно, рассмотрим при
Что и требовалось доказать.
Пусть -нуль целой функции кратности . Стандартным образом введем проектор
Лемма 2.
представляет интегральный оператор с ядром
где
Доказательство леммы 2.
Заметим, что оператор представляет вычет операторной функции в полюсе кратности , то есть
Поскольку - целая функция от , то
Вычислим вычет по формуле
В результате получим требуемую формулу. Что и требовалось доказать.
Поскольку спектр оператора дискретен, то найдется неограниченно растущая последовательность радиусов таких, что на соответствующих окружностях нет точек спектра оператора . Обозначим соответствующую выбранным окружностям последовательность частичных сумм
для произвольной функции из пространства .
Ясно, что
В работе [5] найдены достаточные условия того, что
(9)
В данной работе дан другой способ доказательства соотношения (9). Здесь наше изложение близко к изложению аналогичных результатов работы [6].
В начале перепишем соотношение (7) в виде
Лемма 3 Резольвента оператора имеет следующее представления
(10)
Доказательство леммы 3.
Правая часть соотношения (10) совпадает с правой части соотношения (7). Действительно, разложим по последнему столбцу определитель из (10). В результате имеем
Из того, что
Следует совпадение формул (7) и (10).
Замечание 1 Если правую часть соотношения (10) переписать в виде
то можно заметить, что правая часть не зависит от выбора фундаментальной системы решений . Этим обстоятельством мы воспользуемся в дальнейшем, то есть при вычислении систему будем выбирать по своему усмотрению.
Замечание 2Известно [4], что представляет интегральный оператор с ядром
(11)
где - фундаментальная система решений однородного уравнения (5),
алгебраические дополнения элементов последней строки определителя Вронского
Известно, что правая часть соотношения (11) не зависит от выбора фундаментальной системы решений [4].
С этого момента считаем, что граничные функции выбраны из пространства таким образом, чтобы граничные формы приняли вид
(12)
где
Для этого достаточно чтобы имело представление
(13)
где носитель лежит строго внутри решение однородного уравнения . Соответствующее формально сопряженному дифференциальному выражению . В этом случае коэффициенты представляют значения функции и её производных в точках , а коэффициенты представляют значения функции и её производных в точке , либо отличается от них на .
Действительно, согласно формуле Лагранжа [2] имеем
где квадратичная форма вида – некоторая матрица,
– означает транспонирование. Отсюда следует, что
И так, предполагаем выполненным (12) при причем носитель Дополнительно предполагаем, что краевые условия нормированы и регулярны по Биркгофу [2]. Согласно определению из работы [6] краевые условия (12) называются регулярными, если во всей комплексной плоскости, за исключением кружков радиуса с центром в нулях выполняется оценка
где
В работе [6] доказаны следующие утверждения
Лемма 4.[6]. Краевые условия регулярны тогда и только тогда, когда регулярны по Биркгофу краевые условия .
Лемма 5.[6]. Функция в случае регулярности краевых условий имеет серий корней, причем 1-ая серия имеет асимптотику
а другие серии определяются равенствами
Здесь ограниченная величина при
Доказательства указанных лемм в нашем случае ничем не отличается от доказательств данных в работе [6].
Теперь мы готовы сформулировать основной результат настоящей статьи.
Теорема 1
Система собственных и присоединенных функций оператора с регулярными краевыми условиями (12), (13) образует базис Рисса со скобками в пространстве . Более конкретно: любая функция разлагается в ряд согласно формуле (9), который безусловно сходится по норме пространства . В частности, если краевые условия усиленно-регулярны, то система собственных и присоединенных функций оператора образует базис Рисса в .
Список литературы
Отелбаев М.,Шыныбеков А.Н. О корректных задачах типа Бицадзе – Самарского // Докл. АН СССР.1982. Т. 265, № 4. с. 815-819.
Дезин А.А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач.// Труды МИАН имени В.А.Стеклова. 2000.Т.299.175 с.
Кангужин Б.Е., Садыбеков М.А. Дифференциальные операторы на отрезке. Распределение собственных значений. Шымкент. Галым. 1996. 270 с.
Кангужин Б.Е. Формулы преобразования и спектральные свойства дифференциальных операторов высших порядков на отрезке // Автореферат дисс. док. физ.-мат. н. 2005. Алматы. КазНУ имени аль-Фараби.45 с.
Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестник МГУ .Сер. 1. Матем., мех., 1982. Ұ6. С. 12-21.
Библиографическая ссылка
Елеуов А.А. О БАЗИСНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ КОРРЕКТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НА ОТРЕЗКЕ // Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/7951 (дата обращения: 23.11.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
порожденного в функциональном пространстве 
при 
линейным дифференциальным выражением с переменными коэффициентами 
(1)
– непустое множество. Не умаляя общности, полагаем, что комплексное число 0 принадлежит резольвентному множеству оператора 
удовлетворяют условию
(2)
функций 
из пространства 
(3)
пространство С.Л. Соболева, 
скалярное произведение пространства 
Отметим мною указанный факт также можно найти в [3]. Нам удобно ввести граничные формы
(4)
фундаментальную систему решений однородного уравнения 
(5)
- символ Кронекера.
характеристический определитель, который определяется по формуле 
однородного уравнения (5) с условиями
(6)
представляют целые функции экспоненциального типа от 
. Нам понадобиться следующая лемма:
оператора 
(7)
- оператор, соответствующий нулевым условиям Коши в нуле и порожденный дифференциальным выражением 
оператор сопряженный к оператору 
Тогда 
(8)
решения задачи Коши, то 
представляют решения однородного уравнения (5), то правая часть соотношения (8) представляет решение неоднородного уравнения 
Теперь покажем, что выполняются краевые условия 
Действительно, рассмотрим при 
-нуль целой функции 
. Стандартным образом введем проектор
представляет интегральный оператор с ядром 
представляет вычет операторной функции 
в полюсе кратности 
- целая функция от 
радиусов таких, что на соответствующих окружностях нет точек спектра оператора 
из пространства 
(9)
оператора 
(10)
. Этим обстоятельством мы воспользуемся в дальнейшем, то есть при вычислении 
систему 
представляет интегральный оператор с ядром 
(11)
алгебраические дополнения элементов последней строки определителя Вронского 
выбраны из пространства 
приняли вид
(12)
имело представление
(13)
лежит строго внутри 
решение однородного уравнения 
. Соответствующее формально сопряженному дифференциальному выражению 
. В этом случае коэффициенты 
представляют значения функции 
и её производных в точках 
, а коэффициенты 
представляют значения функции 
, либо отличается от них на 
.
квадратичная форма вида 
– некоторая матрица,
– означает транспонирование. Отсюда следует, что 
причем носитель 
Дополнительно предполагаем, что краевые условия 
нормированы и регулярны по Биркгофу [2]. Согласно определению из работы [6] краевые условия (12) называются регулярными, если во всей комплексной плоскости, за исключением кружков радиуса 
с центром в нулях 
выполняется оценка
где 
регулярны тогда и только тогда, когда регулярны по Биркгофу краевые условия 
.
имеет 
серий корней, причем 1-ая серия имеет асимптотику
а другие серии определяются равенствами 
ограниченная величина при 
. Более конкретно: любая функция 
разлагается в ряд согласно формуле (9), который безусловно сходится по норме пространства 