ИСПОЛНЕНИЕ КЛАССИФИКАЦИЙ ПРЯМЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦВЕТНЫХ РИСУНКОВ
Вертинская Н.Д.
Иркутский государственный технический университет
stevia@mail.ru
Типовые программы по начертательной геометрии в отечественных ВУЗ,ах рассчитаны на студентов с определенной начальной подготовкой, которой они по ряду объективных причин в действительности не обладают. Данное обстоя-тельство значительно затрудняет у них формирование пространственного воо-бражения. Эту задачу, как это автор обнаружила на собственном опыте работы, значительно облегчает применение в процессе обучения цветных чертежей.
В докладе рассмотрен вопрос классификация прямых и плоскостей с приме-нением цветных чертежей и выполнена компактная классификация прямых и плоскостей, фактически являющаяся справочником для дальнейшего изучения курса начертательной геометрии.
Предмет начертательная геометрия
Начертательная геометрия, что это такое?
Название этой науки состоит из двух слов. Слово геометрия связано с ма-тематикой, поэтому начертательная геометрия относится к математическим на-укам. Определение н а ч е р т а т е л ь н а я роднит ее с древне - русским словом «черта», породившем в последствии термин «чертеж» - основной графический документ, используемый в различных областях техники для изготовления ма-шин и приборов, при возведении зданий и сооружений.
Предметом изучения начертательной геометрии являются не реальные представители живой природы или объектов неорганического мира, а условные модели - геометрические фигуры.
Большинство геометрических фигур имеют три измерения. Для отобра-жения трехмерных образов на плоскость необходимо иметь способы, позволя-ющие преобразовывать трехмерные фигуры в однозначно соответствующие им фигуры, имеющие два измерения, для воспроизводства по чертежу пространст-венных объектов.
В связи с этим появилась необходимость в создании новой науки, перебрасывающей мост между трехмерным пространством (cтереомет-рией) (R3) и плоскостью чертежа (планимет-рией) (R2). Такой наукой явилась начертательная геометрия. Наведения моста между (R3) и (R2) осуществляет начертательная геометрия с помо-щью метода проецирования, составляющего тео-ретическую основу начертательной геометрии (плакат 1). Официальной датой рождения проективного метода в его основном виде считается 1795 г. Место рождения – столица Франции Париж. Отец – французский ученый Гаспар Монж.
В процессе проецирования участвуют:
-оригинал,
- аппарат проецирования,
- модель,
- носитель модели.
Начертательная геометрия решает две задачи:
прямую задачу– по оригиналу и аппарату проецирования получить модель, об-
ратную задачу–по модели и аппарату проецирования воспроизвести оригинал.
В качестве оригинала в начертательной геометрии, в основном, использу-ется точка, реже прямая.
В качестве аппарата проецирования используются проецирующие много-
образия, позволяющие через точку пространства проводить один элемент мно-
гообразия:
-одномерные многообразия (кривые, в частном случае, прямые);
-двумерные многообразия (поверхности, в частном случае, плоскости).
В начертательной геометрии используются в качестве аппарата проециро-вания одномерные многообразия прямых линий, которыми являются конгруэн-ции прямых К(n,k) и комплексы прямых Кm(n). Конгруэнция прямых К(n, k)
характеризуется порядком n число прямых конгруэнции, инцидентных (прохо-дя-щих через произвольную точку пространства) и классом k (число прямых конгруэнции, инцидентных произвольной плос-кости пространства). В качестве аппарата проеци-рования целесообразно использовать конгруэн-ции прямых первого порядка К(1,k), чтобы через точку пространства проходила единственная прое-цирующая прямая. Частным случаем конгруэнции прямых К(1,k) являются конгруэнции первого класса К(1,1), которая может распадаться на связку прямых К(1,0) (множество прямых прос-транства инцидентных одной точке, например, (S) –обозначение связки прямых) (рис. 1) и на плос-кое поле прямых К(0,1) (множество прямых плоскости).
Через произвольную точку Р пространства про-ходит множество прямых пространства, Кm(n)-определяется порядком коничес-кой поверхности, которые образуют конус комплекса с вершиной Р Кm(n). Ка-ждый комплекс характеризуется его степенью n. Степень комплекса, выделя-емой из комплекса произвольной точкой Р. Частным случаем комплекса пря-мых Кm(n) является комплекс Кm(1), когда направляющая bn конуса - прямая.
Носителем модели может быть:
2
- кривая (прямая);
- поверхность (плоскость).
Моделью точки может быть одна точка, две точ ки, три точки и т. д. в зависимости от аппарата проеци-рования и носителя модели, например, если аппарат проецирования будет состоять из связки плоскостей (S) (множество плоскостей пространства инцидентных од-ной точке), а носителем модели–цилиндрическая пове-рхность второго порядка, то моделью точки А будет окружность (рис. 2). Рассмотрим процесс проециро-вания, например, при проецировании точки А на плоскость П связкой (S) пря-мых (рис.3), точка А (оригинал) из связки (S) прямых выделяет один луч, кото-рый спроецирует точку А на плоскость П в точку А* (модель). При этом полу-чается, одной точке А пространства R3, имеющего мощность 3, (т.к. точка пространства определяется тремя координатами), ставится в соответствие одна точка А* плоскости R2, имеющей мощность 2, (т.к. точка на плоскости опре-деляется двумя координатами), (прямая задача), однако обратная задача нера-зрешимая, т.к. одной точке А* плоскости П (R2) соответствует множество точек пространства, принадлежащих лучу (АS]. Это противоречие возникает из-за не-равенства мощностей оригинала А-3 и модели А*-2. Таким образом возни-кает необходимость проецирования точки А пространства из двух центров двумя связками (S1) и (S2) прямых (рис. 4).
Получаем, что мощность оригинала А - 3 равна мощности модели 3. Так как при определении одной точки точек А1 расходуется 2 , а точка А2 определяется на прямой (А1А2), что соответствует -.
Признак (критерий) обратимости:
изображение является обратимым, если равны мощности оригинала и модели (изображения).
Основными элементами начертательной геометрии являются: точка, прямая и плоскость.
В начертательной геометрии проецирование оригинала выполняется на две или три взаимно перпендикулярные плоскости ортогонально (перпендику-
3
лярно) им (рис.5а).
Плоскости П1, П2, П3 называются плоскостями проекций;
П1-горизонтальная плоскость проекций,
П2 -фронтальная плоскость проекций,
П3 –профильная плоскость проекций.. Этот пространственный рисунок изобра-зим на плоскости (рис.5 б). Это изобра-жение называется комплексным черте-жом или эпюром Монжа точки А, где А1 – горизонтальная проекция точки А, А2 –фронтальная проекция точки А, А3 – профильная проекция точки А.
В инженерной практике также широко применяется другой тип обратимо-го чертежа, называемый аксонометрией. Отличительной особенностью аксонометрического изображения является наглядность. Аксонометрическое изображение получится в результате проецирования фигуры (в нашем примере
– точки А), отнесенной к натуральной системе координат Охуz, на аксономет-
рическую плоскость проекций П’. Точка А связывается с системой координат
Охуz посредством натуральной координатной ломанной АА1АхО, где ОАх хА,Ах А1уА, А1АzA суть координаты точки А, измеренные на-туральными единицами (масштабны-ми) отрезками.
Проекция А’ точки А называется аксонометрической проекцией (вторич-ной проекцией), проекция А1’ точки А – первичной проекцией (рис.5 в), проек-ция О‘х’у’z‘ - аксонометрической сис-темы координат, А’А’1А’хО’–аксоно-метрической координатной ломаной, проекции е’х, е’у, е’z – аксонометри-ческими единичными (масштабными) отрезками. Из свойств параллельного проецирования следует:
что определяет обратимость аксонометрического чертежа.
Обращает на себя внимание то, что на аксонометрическом чертеже, как и на комплексном, точка А задается двумя своими проекциями (А’1,A’) (рис.5 г).
Искажения по аксонометрическим осям определяется показателями иска-жения, равными отношениям аксонометриических единичных отрезков к натуральному:
4
В зависимости от соотношения между показателями искажения аксонометрии бывают:
1) изометрическая (все показа-тели искажения,
углы наклона между осями ра-
вны 120 о) (рис. 5 д);
2) диметрическая показатели искажения равны ,
и угол наклона оси Ох к Оz равен 97,1о и Оz к Оу – 131,25о) (рис. 5 е);
и углы наклона оси Ох к Оz равен900 осей Oу и Ox к Оz 1350)(рис. 5 ж).
Прямая линия
Прямая в пространстве определяется двумя точками,
например, отрезок [AB], определяющий прямую (рис.6), занимает произвольное положение относительно плоскостей проекций и углы наклона его к плоско-стям проекций произвольные, т.е. отличны от 00 и 900. Такая прямая называется прямой общего положения.
На комплексном чертеже прямая общего положения со-ставляет с осью Ох углы различные, но отличные от и . Прямая общего положения пересекает все плоскости проекций. Точки пересечения прямой с плоскостями
проекций называются ее следами. Так как точка N=П1, то точка N – горизонтальный след прямой , значит N=N1, а фронтальная проекция точки N – N2 лежит на оси Ох. М - фронтальный след прямой , значит М=М2, а горизонтальная проекция М1 точки М=М2 будет лежать на оси Ох.
Комплексный чертеж отрезка АВ изображен на рис.7.
Далее построим следы прямой на комплексном черте-
же. Для чего находим точку пересечения фронтальной
проекции прямой 2 с осью Ох это будет фронтальная
проекция фронтального следа - М2 прямой и по ней
5
строим горизонтальную проекцию М1 точки М. Аналогично строим горизонта-льную проекцию горизонтального следа N1 прямой и на фронтальной прое-кции N2 прямой находим фронтальную проекцию горизонтального следа прямой . (рис. 8).
Частные случаи расположения прямой
Кроме прямых общего положения существуют прямые частного положе-ния относительно плоскостей проекций.
а. Прямые уровня
Прямые параллельные какой-либо плоскости проекций называются пря-мыми уровня (в этом случае углы или =00).
Прямые параллельные горизонтальной плоскости про-екций называются горизонталями и обозначаются h(h1, h2) (рис.9), (h П1). Все точки горизонтали отстоят от плос-кости П2 на одинаковом расстоянии, поэтому фронтальная проекция горизонтали (h2) всегда параллельна оси Ох, а го-ризонтальная проекция горизонтали (h1) занимает произво-льное положение относительно оси Ох.
Прямая параллельная фронтальной плоскости проек-
ций называются фронталью и обозначается f(f1,f2 ), (fП2)
(рис.10). Все точки фронтали отстоят от плоскости П1 на
одинаковом расстоянии – поэтому горизонтальная проекция
фронтали (f1) параллельна оси Ох, а фронтальная проекция
фронтали (f2) занимает произвольное положение относите-
льно оси Ох.
б. Проецирующие прямые
Прямые перпендикулярные какой-либо плоскости проекций называются проецирующими они образуют угол =900 или =900.
Прямая перпендикулярная горизонтальной плос-кости проекций называется горизонтально проециру-ющей прямой П1 (рис.11). Такая прямая прое-цируется на П1 в точку 1, а на плоскость П2 в прямую 2 перпендикулярную оси Ох (2Ох). Эта прямая на горизонтальной проекции обладает собирательным сво-йством, т.к. все точки прямой А, В, С совпадут, т.е. 1=В1=(А1)=(С1) .(Т.к. здесь справедливо определение - геометрическая фигура называется проецирующей, если мерность ее проекции на единицу меньше мерности самой фигуры в нашем случае мерность прямой равна 1, а точки – 0.
6
Для того, чтобы определить какую точку писать первой на горизонтальной плоскости проекций, мы должны по-смотреть на фронтальную проекцию прямой сверху.
Прямая перпендикулярная фронтальной плоскос-ти проекций называется фронтально проецирующей прямой b П2 (рис.12). Такая прямая b проецируется на фронтальную проекцию в точку b2, а на горизонталь-ную плоскость проекций в прямую b1 перпендикуляр-ную оси Ох, на фронтальной плоскости проекций она обладает собирательным свойством, т.е. b2=В2=(А2)= (С2) (на горизонтальную проекцию - b1 смотрим снизу).
в. Прямые, принадлежащие плоскостям проекций
Эти прямые будут или горизонтали или фронтали, т.к. одна из их проекций будет совпадать с осью Ох, такие прямые называются нулевой горизонталью h0(h01,h02) или
нулевой фронталью f0(f01, f02), (рис.13 а, б).
Все рассмотренные прямые сведены в таблицу, названную
классификацией прямых (рис. 14)
Рис. 14
7
Плоскость
Плоскость в пространстве определяется тремя точ-ками, не лежащими на одной прямой (рис.15). Это самое общее задание плоскости. Но для решения задач часто плоскость перезадается, например, точкой А и прямой (рис. 16), двумя пересекающимися прямыми b (рис. 17), двумя параллельными прямыми mn (рис. 18) и плоской фигурой, например треугольником АВС (рис. 19). Линии пересечения плоскости с плоскостями проек-
ц ий называются ее с л е д а м и, при этом П1 = h0 =h01 – горизонтальный след плоскости , П2=f 0=f02 -фронтальный след плос-кости точка Х =Ох называется точкой схода следов плоскости (рис. 20).
Рассматриваемая плоскость составляет с плоскостями проекций углы отличные от 00 и 900 и называется плоскос-
тью общего положения.
Частные случаи расположения плоскостей
Кроме рассмотренного общего случая расположения плоскости относительно плоскостей проекций возможны
частные их расположения:
а. Перпендикулярно плоскостям проекций (угол =900 или =900).
б. Параллельно плоскостям проекций (угол =0 0 или =00).
а. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций.
Такие плоскости называются проецирующими.
1. Плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций на-зывается горизонтально проецирующей (=900) (рис.22,23). Все что находит-ся в этой плоскости проецируется на горизонтальной проекции в ее след, т.е.
б. Плоскости параллельные плоскостям проекций называются
плоскостями уровня
1. Плоскость параллельная плоскости П1 называется горизонтальной плоскостью уровня (рис.25).
2. Плоскости параллельные плоскости П2 называется фронтальной плоскос-тью уровня (рис. 26).
Все плоскости частного поло-жения обладают собиратель-ным свойством на соответст-вующей плоскости проекций. На рис. 27 помещена классификация плоскостей.
9
Рис.27
Взаимное положение прямых в пространстве
Две прямые в пространстве могут быть:
а) параллельными (рис.28);
б) пересекающимися (рис.29), когда точка их пересечения лежит на линии проекционной связи;
в) скрещивающимися, в точке Р1= (М1) спроецированы две точки, кото-рые называются конкурирующими (рис.30).
На рис.30 решим задачу, какой прямой n или m принадлежат точки Р и М?
Для определения какой прямой принадлежат точки Р и М, проецируем конкурирующие точки Р1 и М1 на фронтальную плоскость проекций, т.к. Р1 то-чка первая в записи на горизонтальной плоскости проекций, то она проециру-ется на прямую n2, а M1 - вторая, значит она проецируется на прямую m2. Рn, М m. На комплексном чертеже мы смотрим на фронтальную проекцию све-рху, а на горизонтальную - снизу, поэтому из точек N2= (L2), точка Nn, Lm.
10
Взаимная принадлежность
а. Через прямую общего положения можно провести множество плоскос-тей общего положения, которые образуют пучок плоско-с-тей (m), одну горизонтально проецирующую плоскость и одну фронтально проецирующую плоскость (рис. 30’).
б. Точка принадлежит прямой, если ее проекции принад-лежат одноименным проекциям прямой (рис. 31).
в. Прямая принадлежит плоскости, если принадлежат плоскости две ее точки (рис.32) ((b), .
г. Прямая принадлежит плоскости и в том случае, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости (рис. 33).
д. Известно, что точка, принадлежащая плоскости, принадлежит какой-ни-будь прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому, для того чтобы указать про-
екции точки принадлежащей плоскости, предварительно указываются проекции прямой, лежащей в этой плоскости и на этой прямой берется точка (рис. 34).
Параллельность.
а. Параллельность прямых
У параллельных прямых параллельны их одноимённые проекции (рис. 28).
б) Параллельность прямой и плоскости.
Из стереометрии нам известно, что прямая параллельна плоскости в том случае, если она параллельна прямой принадлежащей этой плоскости. Значит,
для того чтобы через заданную точку А пространства провести прямую , па-
раллельную данной плоскости (ВСD), необходимо:
11
1) провести в плоскости(АВС) произ-вольную прямую m;
2) через проекции А1 и А2 точки А про-вести проекции 1 и 2 прямой соответст-венно параллельные одноимённым проекциям прямой m(m1,m2) (рис.35). Эта задача имеет бесчисленное число решений. Bыбрав произ-вольноe направление прямой m, получим одно из возможных решений.
в) Параллельность плоскостей
Из школьного курса геометрии мы наем, что плоскости параллельны, если одна из них содержит две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым другой плоскости. (Следует отметить, что точка пересечения должна быть собственной) (рис. 36).
Поэтому для построения плоскости (параллельной плоскости (mn) необходимо провести проекции прямых и b соответственно параллельные одноимённым проекциям прямых m и n. Если параллельные плоскости заданы следами, то будут параллельны их одноимённые следы (рис.37).
Выводы:
1. Метод проецирования является базой предмета начертательная геометрия.
2. Изложение метода проецирования базовых элементов начертательной геометрии с применением цветности на комплексном чертеже и в аксонометрических проекциях повышает прочность усвоения материала темы.
Литературные источники:
1. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.– Машиностроение. 1990.-247 с.
2. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. М.: Машиностроение, 1998. 157 с.
3. Вертинская Н.Д. Лекции по начертательной геометрии. Иркутск, Изд-во ИрГТУ. 2008. 67 с.
12
Библиографическая ссылка
Вертинская Нелли Дмитриевна-один автор ИСПОЛНЕНИЕ КЛАССИФИКАЦИЙ ПРЯМЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦВЕТНЫХ РИСУНКОВ // Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/5093 (дата обращения: 26.04.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
(n,k) и комплексы прямых Кm(n). Конгруэнция прямых К
(рис. 2). Рассмотрим процесс проециро-вания, например, при проецировании точки А на плоскость П связкой (S) пря-мых (рис.3), точка А (оригинал) из связки (S) прямых выделяет один луч, кото-рый спроецирует точку А на плоскость П в точку А* (модель). При этом полу-чается, одной точке А пространства R3, имеющего мощность 3, (т.к. точка пространства определяется тремя координатами), ставится в соответствие одна точка А* плоскости R2, имеющей мощность 2, (т.к. точка на плоскости опре-деляется двумя координатами), (прямая задача), однако обратная задача нера-зрешимая, т.к. одной точке А* плоскости П (R2) соответствует множество точек пространства, принадлежащих лучу (АS]. Это противоречие возникает из-за не-равенства мощностей оригинала А-3 и модели А*-2. Таким образом возни-кает необходимость проецирования точки А пространства из двух центров двумя связками (S1) и (S2) прямых (рис. 4). 
П1-горизонтальная плоскость проекций,
, 
2) диметрическая показатели искажения равны 
, 
и угол наклона оси Ох к Оz равен 97,1о и Оz к Оу – 131,25о) (рис. 5 е); 
(рис.6), занимает произвольное положение относительно плоскостей проекций и углы наклона его к плоско-стям проекций произвольные, т.е. отличны от 00 и 900. Такая прямая называется прямой общего положения.
проекций называются ее следами. Так как точка N=
на комплексном черте-
П1 (рис.11). Такая прямая 
Рис. 14
Плоскость в пространстве определяется тремя точ-ками, не лежащими на одной прямой (рис.15). Это самое общее задание плоскости. Но для решения задач часто плоскость перезадается, например, точкой А и прямой (рис. 16), двумя пересекающимися прямыми b (рис. 17), двумя параллельными прямыми mn (рис. 18) и плоской фигурой, например треугольником АВС (рис. 19). Линии пересечения плоскости с плоскостями проек-
ий называются ее с л е д а м и, при этом П1 = h0 =h01 – горизонтальный след плоскости , П2=f 0=f02 -фронтальный след плос-кости точка Х =Ох называется точкой схода следов плоскости (рис. 20). 
Рассматриваемая плоскость составляет с плоскостями проекций углы отличные от 00 и 900 и называется плоскос-
Рис.27
в) скрещивающимися, в точке Р1= (М1) спроецированы две точки, кото-рые называются конкурирующими (рис.30). 
а. Через прямую общего положения можно провести множество плоскос-тей общего положения, которые образуют пучок плоско-с-тей (m), одну горизонтально проецирующую плоскость и одну фронтально проецирующую плоскость (рис. 30’). 
(
b), 
(
параллельной плоскости 
