Учреждение Российской академии наук институт машиноведения
им. А.А. Благонравова РАН
krupenin@online.ru
Аннотация. Дано подробное описание процесса прохождения резонансного виброударного волнового процесса через машинную конструкцию, моделируемую сильно нелинейной сплошной средой сложной структуры. Такие модели содержат несущий элемент и присоединенное оборудование — прямой продольно колеблющийся стержень, в каждой точке которого амортизированы присоединенные динамические системы, содержащие ударные пары различной природы.
1. Рассмотрим дискретную систему регулярной структуры (рис.1), состоящую из линейной цепочки [ 1 ] с параметрами и упруго присоединенных к ней осцилляторов с параметрами . Внутри осцилляторов располагаются полости, в которых симметрично установлены тела массы (рис. 2). Линейная цепочка – суть дискретная модель одномерной упругой среды простой структуры. Присоединение осцилляторов обращает структуру среды в сложную (частный случай модели, описанной в [ 2 ]), а наличие зазоров вносит сильную нелинейность.
Обозначив координаты точечных тел, образующих цепочку, (левый конец системы закреплен, правый совершает синусоидальные колебания), запишем
где и - амплитуда и частота колебаний правого конца цепочки; - координаты присоединенных осцилляторов.
Рис. 1Рис. 2
Для осцилляторов имеем
Здесь - ударная сила; - относительная координата: где - абсолютная координата тела, располагающегося в полости, уравнение движения которого
Предположим, что симметричная ударная сила отвечает гипотезе Ньютона, т.е. для моментов удара и ударных импульсов при строгой очередности соударений имеем:
где - приведенная масса, . Импульсы удара считаются положительными, когда удар происходит о правую границу полости.
Уравнения (1), (3), (4) и соотношения (2), (5) описывают дискретную модель сильно нелинейной одномерной вибропроводящей среды сложной структуры, «состоящей» из несущей и присоединенной частей. Поскольку в процессе передачи вибрации участвует большое число тел, перейдем к ее континуальному аналогу. При этом присутствие ударных пар будет учитываться плотностью силы удара, т.е. будет считаться, что удар распределен по всем сечениям континуального аналога линейной цепочки – стержня [5,6].
Пусть - расстояние между соседними частицами цепочки в равновесном состоянии. Тогда при малых , заменяя индекс на текущую переменную и действуя аналогично, запишем:
где и - линейная плотность и модуль Юнга несущей части среды, кг/ м2 и Н/ м2 ;
- перемещения структурных элементов среды с координатой , ,
[ описывает смещение в несущей части среды, и - в присоединенном оборудовании] ; - плотность силы удара; индексация по независимым переменным обозначает частное дифференцирование; и - линейные плотности присоединенной части, кг/ м; - распределенная статическая жесткость подвеса, кг/ с2 м: . Здесь - парциальная частота свободных колебаний присоединенного осциллятора.
Приведенные соотношения отражают сложность структуры рассматриваемой сплошной среды. Генерация широкого спектра осуществляется за счет распределенной силы удара.
Граничные условия принимают вид
где - длина вибровода, . Для многих случаев вместо (9) встречаются условия:
Соотношения (5) переходят в следующие:
где - распределение моментов удара (фазы); - плотность ударного импульса, кг/c; - погонная приведенная масса, , кг/м.
Таким образом, в качестве вибровода теперь рассматривается среда, состоящая из стержня, по которому распространяются продольные волны (рис. 3,а), и в каждой его точке помещена упруго с ним связанная ударная пара (рис. 3,б). Следует заметить, что при такой постановке может оказаться необходимым задаться распределениями и , а также рассмотреть неравномерные распределения масс. Такие задачи формулируются и рассматриваются аналогично.
Для записи определяющих соотношений для присоединенной части среды существуют также другие модели ударных пар (рис. 4), в которых присоединенной части среды соответствуют либо несимметричные ударные пары (рис. 4,а), либо симметричные (рис. 4,б) (в последнем случае при получаем модель рис. 2).
Рис.3 Рис.4
В континуальном приближении граничные условия (9), (10), а также условия удара (11) сохраняют ту же форму (с учетом симметрии и несимметрии задачи). Относительная координата , где - координата второго присоединенного тела. В этом случае
Разница между системами рис. 4,а и 4,б в свойствах симметрии возможных режимов, определяемых видом силовой функции .
Сказанное позволяет обобщить задачу и рассмотреть сложные модели ударных пар (рис.4,в), образованных системами с произвольными операторами динамических податливостей и . При усложнении их структуры, однако, задача становится трудноанализируемой.
Аналогично можно построить определяющие модели и для трехмерной несущей среды [ 6 ], а также рассмотреть другие частные случаи: несущая среда-балка, мембрана, пластина.
2. Для того чтобы воспользоваться частотно-временными методами найдем распределенные периодические функции Грина для решения вспомогательной линейной задачи вида:
где - внешняя - периодическая сила, . (Когда это не будет приводить к недоразумениям, слово «сила» мы будем отождествлять со словами «распределение силы»).
Пусть имеют место разложения:
причем, как и ранее, по повторяющимся индексам здесь ведется суммирование от до .
Для искомых -периодических режимов запишем:
где и - движения под действием силы ; и - движения, вызванные периодическим граничным условием; выражения для них хорошо известны:
При этом квадрат величины
будет вещественным числом при .7
В дальнейшем наибольший интерес представляет случай
так как присоединенное оборудование на практике зачастую оказывается низкочастотным. Будем поэтому считать, что . Комплексность частоты приводит к важным эффектам, описанным в [ 2 ]. В этом случае виброударные процессы нерезонансны и малоинтенсивны [ 3-5 ].
Для определения и положим . Подставив ряды Фурье для и в (15), после преобразований найдем:
причем, так как Решение данного уравнения можно найти в справочнике [ 7 ].
Рассмотрим функцию
Решение уравнения (21) записывается так [ 1,7 ] :
Из (20) находим, что
Следовательно, возвращаясь к исходному разложению в ряд Фурье, можно записать
где при
Аналогично находим
Функция
и является распределенной периодической функцией Грина (ПФГ) [ 3,4 ], с помощью которой искомое решение записывается в виде, аналогичном [ 3,5 ]:
Из формулы (24) видно, что распределенная ПФГ для решения состоит как бы из двух частей:
где - ПФГ, соответствующая оператору динамической податливости («сосредоточенная часть»), а - «распределенная часть». При помощи (24) и (22) находим:
Первый член в правой части (26) описывает реакцию системы на силу, действующую на нее непосредственно, второй член – реакцию на ту же силу со стороны несущей части среды («эхо»).
Итак, искомое представление для - периодического решения вспомогательной задачи (15) найдено. При рассмотрении симметричных - периодических режимов во всех приведенных здесь соотношениях надо заменить на и в рядах Фурье оставить лишь нечетные гармоники.
3. Перепишем уравнение (7), (8) в операторной форме:
и исключим , тогда
Пусть операторам соответствуют симметричные ПФГ . Тогда для симметричных режимов из (29) найдем:
Далее, используя (28), запишем
С другой стороны из (16) и (25) следует, что
Подставив это выражение в (30), получим
Интегральные уравнения (31)-(33) и описывают симметричные - периодические режимы в рассматриваемой системе. В соответствии с (17) запишем решение нашей задачи при безударном режиме:
Далее из уравнения (33) находим представление для режима , зависящего от двух неизвестных функций и , для чего представляем нелинейность в виде обобщенной функции, описывающей удары и зависящей от распределения фазы и плотности импульса . Затем при помощи условий удара (11) определяем функции и , для чего придется решить систему двух интегральных уравнений существенно более простых, чем (31)-(33). После полного определения вида функции при помощи квадратур находим поля перемещений , . Реализация этой программы связана с существенными трудностями. Поэтому в дальнейшем будут использованы некоторые приближенные представления.
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (Проект № 10-08-00500а).
(Продолжение в последующих частях).
Литература
Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. 470 с.
Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976, 328 с.
Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах.-М., Наука, 1985. – 384 с.
4. Babitsky V.I.,. Krupenin V.L Vibration of Strongly Nonlinear Discontinuous Systems.- Berlin. Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2001. –404 p.p.
5. Широкополосные виброударные генераторы механических колебаний// Крупенин В.Л., Веприк А.М. и др. Л.: Машиностроение, 1987. 76 с.
6. Крупенин В.Л. Модель сильно нелинейной вибропроводящей среды с распределенным ударным элементом// ДАН, 1995, Т. 343, №6, с. 759-763.
7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.
7
Библиографическая ссылка
Крупенин В.Л. О ПРОХОЖДЕНИИ СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТЫ МАШИННЫХ КОНСТРУКЦИЙ, МОДЕЛИРУЕМЫХ ПОСРЕДСТВОМ СПЛОШНЫХ СРЕД СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ (Часть 1) // Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/6181 (дата обращения: 27.04.2024).
Прочитать публикацию в формате PDF
и упруго присоединенных к ней осцилляторов с параметрами 
. Внутри осцилляторов располагаются полости, в которых симметрично установлены тела массы 
(рис. 2). Линейная цепочка – суть дискретная модель одномерной упругой среды простой структуры. Присоединение осцилляторов обращает структуру среды в сложную (частный случай модели, описанной в [ 2 ]), а наличие зазоров вносит сильную нелинейность.
(левый конец системы закреплен, правый совершает синусоидальные колебания), запишем
и 
- амплитуда и частота колебаний правого конца цепочки; 
- координаты присоединенных осцилляторов.
- ударная сила; 
- относительная координата: 
где 
- абсолютная координата тела, располагающегося в полости, уравнение движения которого
отвечает гипотезе Ньютона, т.е. для моментов удара 
и ударных импульсов 
при строгой очередности соударений имеем:
- приведенная масса, 
. Импульсы удара считаются положительными, когда удар происходит о правую границу полости.
- расстояние между соседними частицами цепочки в равновесном состоянии. Тогда при малых 
на текущую переменную 
и действуя аналогично, запишем:
и 
- линейная плотность и модуль Юнга несущей части среды, кг/ м2 и Н/ м2 ; 
- перемещения структурных элементов среды с координатой 
, 
,
[
описывает смещение в несущей части среды, 
и 
- в присоединенном оборудовании] ; 
- плотность силы удара; индексация по независимым переменным обозначает частное дифференцирование; 
и 
- линейные плотности присоединенной части, кг/ м; 
- распределенная статическая жесткость подвеса, кг/ с2 м: 
. Здесь 
- парциальная частота свободных колебаний присоединенного осциллятора.
- длина вибровода, 
. Для многих случаев вместо (9) встречаются условия:
- распределение моментов удара (фазы); 
- плотность ударного импульса, кг/c; 
- погонная приведенная масса, 
, кг/м.
и 
, а также рассмотреть неравномерные распределения масс. Такие задачи формулируются и рассматриваются аналогично.
получаем модель рис. 2).
, где 
- координата второго присоединенного тела. В этом случае
.
и 
. При усложнении их структуры, однако, задача становится трудноанализируемой.
- внешняя 
- периодическая сила, 
. (Когда это не будет приводить к недоразумениям, слово «сила» мы будем отождествлять со словами «распределение силы»).
до 
.
-периодических режимов запишем:
и 
- движения под действием силы 
; 
и 
- движения, вызванные периодическим граничным условием; выражения для них хорошо известны: 
.7
. Комплексность частоты приводит к важным эффектам, описанным в [ 2 ]. В этом случае виброударные процессы нерезонансны и малоинтенсивны [ 3-5 ].
и 
положим 
. Подставив ряды Фурье для 
и 
в (15), после преобразований найдем:
Решение данного уравнения можно найти в справочнике [ 7 ].
состоит как бы из двух частей:
- ПФГ, соответствующая оператору динамической податливости 
(«сосредоточенная часть»), а 
- «распределенная часть». При помощи (24) и (22) находим:
- периодического решения вспомогательной задачи (15) найдено. При рассмотрении симметричных 
во всех приведенных здесь соотношениях надо заменить 
на 
и в рядах Фурье оставить лишь нечетные гармоники.
, тогда
соответствуют симметричные ПФГ 
. Тогда для симметричных режимов из (29) найдем:
- периодические режимы в рассматриваемой системе. В соответствии с (17) запишем решение нашей задачи при безударном режиме:
, зависящего от двух неизвестных функций 
и 
, для чего представляем нелинейность 
в виде обобщенной функции, описывающей удары и зависящей от распределения фазы 
и плотности импульса 
. Затем при помощи условий удара (11) определяем функции 
, для чего придется решить систему двух интегральных уравнений существенно более простых, чем (31)-(33). После полного определения вида функции 
при помощи квадратур находим поля перемещений 
, 
. Реализация этой программы связана с существенными трудностями. Поэтому в дальнейшем будут использованы некоторые приближенные представления. 